Hvad er en aritmetisk sekvens?

I algebra er sekvenser af tal værdifulde for at studere, hvad der sker, som noget bliver større eller mindre. En aritmetisk sekvens er defineret af den fælles forskel, som er forskellen mellem et tal og den næste i sekvensen. For aritmetiske sekvenser er denne forskel en konstant værdi og kan være positiv eller negativ. Som følge heraf bliver en aritmetisk sekvens stadig større eller mindre med en fast mængde, hver gang et nyt nummer tilføjes til listen, der udgør sekvensen.

TL; DR (for lang, ikke læst)

En aritmetisk sekvens er en liste over tal, hvor på hinanden følgende udtryk varierer med en konstant mængde, den fælles forskel. Når den fælles forskel er positiv, fortsætter sekvensen med at øge med en fast mængde, mens hvis den er negativ, falder sekvensen. Andre almindelige sekvenser er den geometriske sekvens, hvor vilkårene afviger af en fælles faktor og Fibonacci-sekvensen, hvor hvert tal er summen af ​​de to foregående tal.

Sådan fungerer en aritmetisk sekvens

En aritmetisk sekvens er defineret af et startnummer, en fælles forskel og antallet af termer i sekvensen. For eksempel er en aritmetisk sekvens, der starter med 12, en almindelig forskel på 3 og fem udtryk 12, 15, 18, 21, 24. Et eksempel på en faldende sekvens er en startende med nummer 3, en fælles forskel på -2 og seks vilkår. Denne sekvens er 3, 1, -1, -3, -5, -7.

Aritmetiske sekvenser kan også have et uendeligt antal udtryk. For eksempel vil den første sekvens ovenfor med et uendeligt antal termer være 12, 15, 18, ... og denne sekvens fortsætter til uendelig.

Aritmetisk middel

En aritmetisk sekvens har en tilsvarende serie, der tilføjer alle betingelserne i sekvensen. Når betingelserne er tilføjet og summen er divideret med antallet af udtryk, er resultatet det aritmetiske gennemsnit eller gennemsnit. Formlen for det aritmetiske middel er (summen af ​​n udtryk) ÷ n.

En hurtig måde at beregne middelværdien af ​​en aritmetisk sekvens på er at bruge den observation, at når de første og sidste udtryk tilføjes, sum er det samme som når den anden og ved siden af ​​sidste vilkår tilføjes, eller den tredje og tredje til sidste udtryk. Som et resultat er summen af ​​sekvensen summen af ​​de første og sidste udtryk gange halvdelen af ​​antallet af udtryk. For at få det gennemsnitlige er summen divideret med antallet af udtryk, så gennemsnittet af en aritmetisk sekvens er halvdelen af ​​summen af ​​de første og sidste udtryk. For n-udtryk a _{1 til a n er den tilsvarende formel for middel m m = (a 1 + a n) ÷ 2.}

Uendelige aritmetiske sekvenser Har ikke et sidste begreb, og derfor er deres gennemsnit udefineret. I stedet kan et middel for en delvis sum findes ved at begrænse summen til et bestemt antal vilkår. I så fald kan den delvise sum og dens gennemsnit findes på samme måde som for en ikke-uendelig sekvens.

Andre typer af sekvenser

Sekvenser af tal er ofte baseret på observationer fra eksperimenter eller målinger af naturlige fænomener. Sådanne sekvenser kan være tilfældige tal, men ofte ser sekvenser ud til at være aritmetiske eller andre ordnede lister over tal.

For eksempel adskiller geometriske sekvenser fra aritmetiske sekvenser, fordi de har en fælles faktor i stedet for en fælles forskel. I stedet for at have et tal tilføjet eller subtraheret for hvert nyt udtryk multipliceres eller divideres et nummer hver gang et nyt udtryk er tilføjet. En sekvens, der er 10, 12, 14, ... som en aritmetisk sekvens med en fælles forskel på 2 bliver 10, 20, 40, ... som en geometrisk sekvens med en fælles faktor på 2.

Andre sekvenser følger helt forskellige regler. For eksempel dannes Fibonacci-sekvensbetingelserne ved at tilføje de to foregående tal. Sekvensen er 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Vilkårene skal tilføjes individuelt for at få en delvis sum, fordi den hurtige metode til at tilføje de første og sidste udtryk virker ikke for denne sekvens.

Aritmetiske sekvenser er enkle, men de har virkelige applikationer. Hvis startpunktet er kendt, og den fælles forskel kan findes, kan værdien af ​​serien på et bestemt tidspunkt i fremtiden beregnes, og gennemsnitsværdien kan også bestemmes.