Sådan beregnes Eigenvalues

Når du bliver præsenteret med en matrix i en matematik eller fysik klasse, bliver du ofte bedt om at finde sine egenværdier. Hvis du ikke er sikker på hvad det betyder eller hvordan man gør det, er opgaven skræmmende, og det involverer mange forvirrende terminologier, der gør sagen endnu værre. Processen til beregning af egenværdier er imidlertid ikke for udfordrende, hvis du er komfortabel med at løse kvadratiske (eller polynomiske) ligninger, forudsat at du lærer grunde til matricer, egenværdier og egenvektorer.

Matricer, egenværdier og egenvektorer: Hvad de mener

Matricer er arrayer af tal, hvor A står for navnet på en generisk matrix, som denne:

(
1 3 )

A
= (4 2)

Tallene i hver position varierer, og der kan endda være algebraiske udtryk i deres sted. Dette er en 2 × 2 matrix, men de kommer i forskellige størrelser og har ikke altid lige mange rækker og kolonner.

Håndtering af matricer er forskellig fra at håndtere almindelige tal, og der er specifikke regler for multiplicering, opdeling, tilføjelse og subtraktion af dem fra hinanden. Betegnelserne "egenværdi" og "egenvektor" anvendes i matrixalgebra for at henvise til to karakteristiske mængder med hensyn til matrixen. Dette egenvalue problem hjælper dig med at forstå, hvad udtrykket betyder:

A
∙ v = λ ∙ v

A er en generel matrix som før, v er en vektor og λ er en karakteristisk værdi. Se på ligningen og bemærk, at når du multiplicerer matrixen med vektoren v, er effekten at reproducere den samme vektor, blot multipliceret med værdien λ. Dette er usædvanlig adfærd og tjener vektoren v og kvantiteten λ specielle navne: egenvektor og egenværdi. Disse er karakteristiske værdier af matrixen, fordi multiplieringen af ​​matrixen ved egenvektor forlader vektoren uændret bortset fra multiplikation med en faktor af egenværdien.

Sådan beregnes egenvalues ​​

Hvis du har egenvalueproblemet for matricen i en eller anden form er det let at finde egenværdien (fordi resultatet bliver en vektor det samme som den oprindelige undtagen multipliceret med en konstant faktor - egenværdien). Svaret findes ved at løse matrixens karakteristiske ligning:

det (A - λ I
) = 0

Hvor jeg er identitetsmatrixen, som er tom bortset fra en serie af 1'er, der løber diagonalt nedad i matrixen. "Det" refererer til matrixens determinant, som for en generel matrix:

(ab)

A
= (cd)

Er givet af

det A = ad -bc

Så den karakteristiske ligning betyder:

(a - λb)

det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Som eksempel matrix, lad os definere A som:

(0-1)

A
= (-2 -3)

Så det betyder:

det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × -2) = 0

= -λ (-3 - λ) + 2

= λ < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0

Løsningerne for λ er egenværdierne, og du løser dette som enhver kvadratisk ligning. Løsningerne er λ = - 1 og λ = - 2.

TL; DR (for lang, ikke læst)

I simple tilfælde er egenværdierne lettere at finde. For eksempel, hvis matrixelementerne er alle nul bortset fra en række på den førende diagonal (fra øverste venstre til nederste højre), ser de diagonale elementer ud til at være egenværdierne. Metoden ovenfor fungerer dog altid.

Find egenvektorer

Find egenvektorer er en lignende proces. Brug af ligningen:

(A - λ) ∙ v = 0

med hver af de egenværdier, du har fundet igen. Dette betyder:

(a - λb) (v _{1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)}

λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v _{2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)}

Du kan løse dette ved i betragtning af hver række igen. Du behøver kun forholdet mellem v
_{1 til v
2, fordi der vil være uendeligt mange mulige løsninger til v
1 og v
2.}