Hvad er forskellen mellem en sekvens og en serie?

Mens de engelske ord "sekvens" og "serie" har lignende betydninger, er de helt forskellige begreber i matematik. En sekvens er en liste over tal placeret i en defineret rækkefølge, mens en serie er summen af ​​en sådan liste over tal. Der er mange slags sekvenser, herunder dem, der er baseret på uendelige lister over tal. Forskellige sekvenser og de tilsvarende serier har forskellige egenskaber og kan give overraskende resultater.

TL; DR (For længe, ​​ikke læst)

Sekvenser er lister over tal placeret i en bestemt rækkefølge i henhold til til givne regler. Serien der svarer til en sekvens er summen af ​​tallene i den sekvens. Serien kan være aritmetisk, hvilket betyder, at der er en fast forskel mellem serienummeret eller geometrisk, hvilket betyder, at der er en fast faktor. Uendelige serier har ikke endelige tal, men kan stadig have en fast sum under visse betingelser.

Typer af sekvenser og serier

Fælles sekvenser er aritmetiske eller geometriske. I en aritmetisk sekvens adskiller hvert sekvens eller sekvens fra sekvensen fra det foregående udtryk med samme mængde. For eksempel, hvis en aritmetisk sekvensforskel er 2, kan en tilsvarende aritmetisk sekvens være 1, 3, 5 .... Hvis forskellen er -3, kan en sekvens være 4, 1, -2 .... Den aritmetiske sekvens er defineret af startnummeret og forskellen.

For geometriske sekvenser varierer termerne med en faktor. For eksempel kan en sekvens med en faktor på 2 være 2, 4, 8 ... og en sekvens med en faktor på 0,75 kan være 32, 24, 18 .... Den geometriske sekvens er defineret af startnummeret og faktor.

Serietyperne afhænger af den rækkefølge, der tilføjes. En aritmetisk række tilføjer betingelserne for en aritmetisk sekvens, og en geometrisk serie tilføjer en geometrisk sekvens.

Finite og Uendelige Sekvenser og Serier

Sekvenser og den tilsvarende serie kan baseres på et fast nummer af udtryk eller et uendeligt antal. En endelig sekvens har et startnummer, en forskel eller faktor og et fast totalt antal vilkår. For eksempel vil den første aritmetiske sekvens ovenfor med otte udtryk være 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Den første geometriske sekvens ovenfor med seks udtryk ville være 2, 4, 8, 16, 32, 64 Den tilsvarende aritmetiske serie ville have en værdi på 64 og den geometriske serie 126. Uendelige sekvenser har ikke et fast antal vilkår, og deres vilkår kan vokse til uendeligt, falde til nul eller nærme en fast værdi. Den tilsvarende serie kan også have et uendeligt, nul eller fast resultat.

Konvergent og Divergent Series

Uendelige serier er divergerende, hvis summen nærmer sig uendelighed, da antallet af vilkår stiger. En uendelig serie er konvergent, hvis dens sum nærmer sig en ikke-uendelig værdi som nul eller et andet fast nummer. Serier er konvergerende, hvis betingelserne i den underliggende sekvens hurtigt nærmer sig nul.

Serien, der tilføjer betingelserne i den uendelige sekvens 1, 2, 4 ..., er divergerende, fordi sekvensbetingelserne fortsætter med at vokse, hvilket gør det muligt for summen for at nå en uendelig værdi som antallet af vilkår stiger. Serien 1, 0,5, 0,25 ... er konvergent, fordi betingelserne hurtigt bliver meget små.

Mens sekvenser er bestilt, lister over tal og serier er summer, kan begge være vigtige værktøjer til evaluering af sæt af tal og Konvergensens eller divergensens egenskaber kan have virkelige livsimplikationer. En divergerende serie repræsenterer ofte en ustabil tilstand, mens en konvergerende serie ofte betyder, at en proces eller struktur vil være stabil.