Sådan finder du afstanden fra et punkt til en linje

En god forståelse af algebra vil hjælpe dig med at løse geometriproblemer som at finde afstanden fra et punkt til en linje. Løsningen indebærer at skabe en ny vinkelret linje, der forbinder punktet til den oprindelige linje, og derefter finde det punkt, hvor de to linjer krydser, og endelig beregne længden af ​​den nye linje til skæringspunktet.

TL; DR (For lang tid, ikke læst)

For at finde afstanden fra et punkt til en linje skal du først finde den vinkelrette linje, der passerer gennem punktet. Find derefter afstanden fra det oprindelige punkt til krydsningspunktet mellem de to linjer. Brug

Find den vinkelrette linje

Den nye linje vil være vinkelret på den oprindelige, det vil sige de to linjer skærer i rette vinkler. For at bestemme ligningen for den nye linje tager du den negative invers af hældningen på den oprindelige linje. To linjer, en med en hældning A og den anden med en hældning, -1 ÷ A, skærer i rette vinkler. Det næste trin er at erstatte punktet i ligningen af ​​hældningsaflytningsformen for den nye linje for at bestemme dens y-afsnit.

Som eksempel, tag linjen y = x + 10 og punktet (1, 1). Bemærk at linjens hældning er 1. Den negative gensidige af 1 er -1 ÷ 1 eller -1. Så den nye linies hældning er -1, så den nye linies hældningsafsnit er y = -x + B, hvor B er et tal, du endnu ikke kender. For at finde B erstatter du x- og y-værdien af ​​punktet i linjens ligning:
y = -x + B

Brug originalt punktet (1,1), så erstat 1 for x og 1 for y:

1 = -1 + B1 + 1 = 1 - 1 + B tilføj 1 til begge sider2 = B

Du har nu værdien for B.

Den nye linjens ligning er så y = -x + 2.

Bestem skæringspunkt

De to linjer skærer, når deres y-værdier er ens. Du finder dette ved at sætte ligningerne i lighed med hinanden og derefter løse for x. Når du har fundet værdien for x, skal du sætte værdien i hver linjekvation (det er ligegyldigt hvilken som helst) for at finde krydsningspunktet.

Fortsæt eksemplet, du har den oprindelige linje:
y = x + 10
og den nye linje, y = -x + 2
x + 10 = -x + 2 Sæt de to ligninger svarende til hinanden.
x + x + 10 = x -x + 2 Tilføj x til begge sider.
2x + 10 = 2
2x + 10 - 10 = 2 - 10 Træk 10 fra begge sider.
2x = -8
(2 ÷ 2) x = -8 ÷ 2 Opdel begge sider med 2.
x = -4 Dette er x-værdien af ​​skæringspunktet.
y = -4 + 10 Erstat denne værdi for x i en af ​​ligningerne .
y = 6 Dette er y-værdien af ​​skæringspunktet.
Krydsningspunktet er (-4, 6)

Find længden på en ny linje

Længden af den nye linje mellem det givne punkt og det nyligt fundne skæringspunkt er afstanden mellem punktet og den oprindelige linje. For at finde afstanden trækker du x- og y-værdierne for at få x- og y-forskydningerne. Dette giver dig modsatte og tilstødende sider af en rigtig trekant; Afstanden er den hypotenuse, som du finder med Pythagoras sætning. Tilføj kvadraterne af de to tal og tag kvadratroten af ​​resultatet.

Efter eksemplet har du det oprindelige punkt (1,1) og skæringspunktet (-4,6).
x1 = 1, y1 = 1, x2 = -4, y2 = 6
1 - (-4) = 5 Træk x2 fra x1.
1 - 6 = -5 Træk y2 fra y1.
5 ^ 2 + (-5) ^ 2 = 50 Firkant de to tal og tilføj derefter.
√ 50 eller 5 √ 2 Tag kvadratroten af ​​resultatet.
5 √ 2 er afstanden mellem punktet (1,1) og linjen, y = x + 10.