Hvad er en periodisk funktion?

En periodisk funktion er en funktion, der gentager sine værdier med jævne mellemrum eller "perioder". Tænk på det som et hjerteslag eller den underliggende rytme i en sang: Den gentager den samme aktivitet på en stabil slå. Grafen for en periodisk funktion ser ud som om et enkelt mønster gentages igen og igen.

TL; DR (for længe, ​​ikke læst)

En periodisk funktion gentager sine værdier på regelmæssige intervaller eller "perioder".

Typer af periodiske funktioner

De mest berømte periodiske funktioner er trigonometriske funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant, cosecant osv. Andre eksempler på periodiske funktioner i naturen omfatter lyse bølger, lydbølger og faser af månen. Hver af disse, når de er grafet på koordinatplanet, laver et gentagende mønster i samme interval, hvilket gør det let at forudsige.

Perioden for en periodisk funktion er intervallet mellem to "matchende" punkter på grafen . Med andre ord er afstanden langs x-aksen, at funktionen skal rejse før den begynder at gentage sit mønster. De grundlæggende sinus- og cosinusfunktioner har en periode på 2π, mens tangent har en periode på π.

En anden måde at forstå period og gentagelse for trig-funktioner på er at tænke på dem i forhold til enhedens cirkel. På enhedens cirkel går værdier rundt og rundt om cirklen, når de stiger i størrelse. Den gentagne bevægelse er den samme ide, der afspejles i det periodiske mønster af en periodisk funktion. Og for sinus og cosinus skal du lave en fuld sti rundt om cirklen (2π), før værdierne begynder at gentage.

Ligning for en periodisk funktion

En periodisk funktion kan også defineres som en ligning med denne formular:

f (x + nP) = f (x)

Hvor P er perioden (en ikke-null konstant) og n er et positivt heltal.

Du kan f.eks. skrive sinusfunktionen på denne måde:

sin (x + 2π) = sin (x)

n = 1 i dette tilfælde og perioden, P, for en sinusfunktion er 2π.

Test det ved at prøve et par værdier for x, eller se på grafen: Vælg enhver x-værdi, og bevæg derefter 2π i begge retninger langs x-aksen ; y-værdien skal forblive den samme.

Prøv nu når n = 2:

synd (x + 2 (2π)) = synd (x)

synd (x + 4π) = sin (x).

Beregn for forskellige værdier af x: x = 0, x = π, x = π /2, eller kontroller det på grafen.

Cotangent-funktionen følger de samme regler, men dens periode er π radianer i stedet for 2π radianer, så dens graf og dens ligning ser sådan ud:

cot (x + nπ) = cot (x)

Bemærk at tangent- og cotangentfunktioner er periodiske, men de er ikke kontinuerte: Der er "pauser" i deres grafer.