Sådan løses lineære uligheder

Sig, du skal gå på indkøb og du er på et budget. Du vil købe pasta og brød til en stor gruppe, men du kan ikke bruge mere end tyve dollars. I teorien kan du kun købe brød og ingen pasta eller masser af brød og kun en kasse med pasta. Hvor mange forskellige kombinationer af pasta kasser og brød brød kunne du købe? Og hvordan kan du få mest ud af hver for dine penge?

Problemer som disse kaldes lineære uligheder: ligninger, hvis graf er en linje, men i stedet for at bruge ligestegnet, bruger de ulighedssymboler som & gt; eller & lt ;.

TL; DR (for længe, ​​ikke læst)

For at løse en lineær ulighed skal du finde alle kombinationer af x
og y
der gør uligheden sand. Du kan løse lineære uligheder ved hjælp af algebra eller ved at tegne.

For at løse en lineær ulighed (eller en ligning) skal du finde alle kombinationer af x
og y
der gør denne ligning sand.

Du kan løse lineære uligheder algebraisk, eller du kan repræsentere løsningerne på en graf (eller begge!). Lad os gå gennem nogle eksempler på problemer sammen.

Løsning af lineære uligheder Algebraisk

Denne proces er næsten lige som løsningen af ​​en lineær ligning, men med en nøgle undtagelse. Tag et kig på problemet nedenfor.

-4_x_ - 6 & gt; 12 - x

Få først alle de x
-'er på samme side af tegnet "større end". Tilføj x
til begge sider for at annullere x
på højre side og kun x
til venstre.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

-3_x_ - 6> gt; 12.

Tilføj nu seks til begge sider:

-3_x_ - 6 (+ 6) & gt; 12 (+ 6)

-3_x_ & gt; 18.

Hidtil har dette været nøjagtigt som enhver lineær ligning. Men nu er det ved at ændre sig! Når du deler begge sider af en ulighed med et negativt tal, skal du skifte retningen for ulighedssymbolet.

Så for -3_x_ & gt; 18, vi skal dele begge sider med -3, og så skal vi bladre i & gt; tegn til en & lt; tegn.

x
& lt; -6

Graf lineære uligheder

Hvad med graphing? Endnu engang svarer processen meget til lineære ligninger, men der er en vigtig forskel. Da du er nødt til at angive alle
af kombinationerne x
og y
, der gør en ulighed sand, skal du grave linjen som normalt og derefter kommer til at skygge i sektionen af ​​grafen, der giver dig resten af ​​mulige løsninger.

Hvordan ville du for eksempel grave ulighederne y
& lt; 3_x_ + 6?

For det første bemærker du, at uligheden er i hældningsaflytningsform, hvilket betyder at vi kan bruge y
-interceptet og hældningen til hurtigt at tegne linjen. < y
-interceptet er 6, så tag et punkt på (0, 6), og brug det faktum, at hældningen er 3 for at gå op tre enheder og en enhed til højre, Træk derefter et punkt. Dit punkt skal være på (1, 9). For at gøre en linje pæne og smukke er det rart at få tre point, så lav et nyt punkt ved at starte ved (1, 9) og gå op tre, over en igen. Du får et punkt på (2, 12). Træk nu en linje ved at forbinde punkterne.

Great! Du har netop graftet ligeværdigheden y
= 3_x_ + 6, men husk den oprindelige ligning er y
& lt; 3_x_ + 6. Brug dette simple trick til at skygge den rigtige del af grafen: Når uligheden er i hældningsaflytningsformularen, hvis du har y
& lt; , så skygge i alt under linjen. Hvis du har y
& gt;, så skygge i alt over linjen.

Men dobbeltklik for at være sikker! Når du skygger i en hel del af grafen, betyder det at nogen af ​​disse punkter skal gøre ligningen sand. Grib et tilfældigt punkt, som du har skygget ind og tilslut x
og y
til den oprindelige ulighed. Hvis det virker, er du god til at gå. Hvis det ikke gør det, skal du dobbelttjekke din grafik og /eller din algebra.

En sidste ting: Når du har & gt; eller & lt ;, skal linjen på grafen være prikket! Når uligheden bruger ≥ eller ≤, skal linjen være solid. Dette viser, om punkterne på linjen selv er inkluderet i løsningen.

Løs systemerne for lineære uligheder

Løsning af et system med lineære uligheder ligner meget på at løse systemer af ligninger. Grafering er den nemmeste måde at løse lineære uligheder på.

For at afgrænse et system med lineære uligheder, graf din første ulighed som du gjorde ovenfor og skygge i områderne over eller under din linje. Grafer derefter den anden ulighed. Endnu en gang vil du skygge i alle sektioner af grafen, der gør uligheden sand. Det meste af tiden vil der være et område på grafen, som du har skygget over to gange! Dette er løsningen på systemet med uligheder, fordi det er sektionen af ​​grafen, hvor begge uligheder er sande.