Hvad er pythagoranske identiteter?

De fleste mennesker husker den pythagoriske sætning fra begynder geometri - det er en klassiker. Det er en
^{2 + b
2 = c
2, hvor en
, b
og c
er siderne af en rigtig trekant ( c
er hypotenuse). Nå, denne sætning kan også omskrives til trigonometri!}

TL; DR (for lang, ikke læst)

TL; DR (for lang tid, ikke læst)
Pythagoranske identiteter er ligninger, der skriver Pythagoras sætning med hensyn til trigfunktionerne.

De vigtigste pythagoriske identiteter er:

Synd ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) = sec 2 θ
)}

1 + barneseng ^{2 ( θ
) = csc 2 ( θ
)}

Den pythagoriske identiteter er eksempler på trigonometriske identiteter: equaliteter (ligninger), der bruger trigonometriske funktioner.

Hvorfor betyder det?

De pythagoriske identiteter kan være meget nyttige til at forenkle komplicerede trig-sætninger og ligninger. Husk dem nu, og du kan spare dig selv en masse tid på vejen!

Bevis ved hjælp af definitionerne af trig-funktionerne

Disse identiteter er ret enkle at bevise, om du tænker på definitionerne af trig-funktionerne. Lad os eksempelvis bevise at synden ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1.}

Husk at definitionen af ​​sinus er modsat side /hypotenuse, og at cosinus er tilstødende side /hypotenuse.

Så synd ^{2 = modsat 2 /hypotenuse 2}

Og cos ^{2 = ved siden af ​​ 2 /hypotenuse 2}

Du kan nemt tilføje disse to sammen, fordi deominatorerne er de samme.

synd ^{2 + cos 2 = (modsat 2 + tilstødende 2) /hypotenuse 2}

Tag nu et andet kig ved den pythagoriske sætning. Det siger, at en
<sup>2 + b
2 = c
2. Husk at en
og b
står for de modsatte og tilstødende sider, og c
står for hypotenussen.</sup>

Du kan omarrangere ligning ved at dividere begge sider af c
^2:

en
^{2 + b
2 = c
2}

( en
^{2 + b
2) / c
2 = 1
a
2 og b
2 er de modsatte og tilstødende sider og c
2 er hypotenuse, du har en tilsvarende sætning til den ovenstående med (modsat 2 + hosliggende 2) /hypotenuse 2. Og takket være arbejdet med en
, b
, c
og Pythagoras sætning, kan du nu se denne erklæring svarer til 1!}

Så (modsat ^{2+ tilstødende 2) /hypotenuse 2 = 1,}

og derfor: synd ^{2 + cos 2 = 1.}

(Og det er bedre at skrive det korrekt ud: synd ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1).}

De gensidige identiteter

Lad os bruge et par minutter på at se på de gensidige identiteter. Husk at den gensidige er en divideret med ("over") dit nummer - også kendt som den inverse.

Siden cosecant er den reciproke af sinus, csc ( θ
) = 1 /synd ( θ
).

Du kan også tænke på cosecant ved at bruge definitionen af ​​sinus. For eksempel sinus = modsat side /hypotenuse. Den omvendte af det vil være den fraktion, der vendes op og ned, som er hypotenuse /modsat side.

På samme måde er cosinus gensidige secant, så den er defineret som sec ( θ
) = 1 /cos ( θ
) eller hypotenuse /tilstødende side.

Og tangentets gensidige er cotangent, så barneseng ( θ
) = 1 /tan ( θ
) eller cot = tilstødende side /modsatte side.

Beviserne for de pythagoriske identiteter ved hjælp af secant og cosecant ligner meget på sinus og cosinus. Du kan også udlede ligningerne ved hjælp af "parent" ligningen, sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1. Opdel begge sider med cos 2 ( θ
) for at få identiteten 1 + tan 2 ( θ
) = sec 2 ( θ
). Opdel begge sider ved synd 2 ( θ
) for at få identiteten 1 + cot 2 ( θ
) = csc 2 ( θ
).}

Held og lykke og husk at huske de tre pythagoranske identiteter!