Hvad er dobbeltvinkelidentiteter?

Når du begynder at lave trigonometri og beregning, kan du løbe ind i udtryk som synd (2θ), hvor du bliver bedt om at finde værdien af θ. Afspilning af forsøg og fejl med diagrammer eller en regnemaskine for at finde svaret vil variere fra et udtømt mareridt til fuldstændig umuligt. Heldigvis er dobbeltvinklede identiteter her for at hjælpe. Disse er specielle forekomster af, hvad der er kendt som en sammensat formel, der bryder funktionerne i formularerne (A + B) eller (A - B) ned i funktioner af bare A og B.

De dobbeltsidede identiteter til Sine

Der er tre dobbeltvinklede identiteter, en hver for sinus, cosinus og tangentfunktioner. Men sinus- og cosinusidentiteterne kan skrives på flere måder. Her er de to måder at skrive dobbeltvinkelsidentiteten til sinusfunktionen på:

synd (2θ) = 2sinθcosθ

synd (2θ) = (2tanθ) /(1 + tan ^{2θ)

De dobbeltvinklede identiteter til Cosine

Der er endnu flere måder at skrive dobbeltvinkelsesidentiteten til cosinus på:}

cos (2θ) = cos ^{2θ - sin ^2θ}

cos (2θ) = 2cos ^{2θ - 1}

cos (2θ) = 1 - 2sin ^2θ

cos (2θ) = (1 - tan ^{2θ) /(1 + tan ^{2θ) < b>

Den dobbelte vinkelidentitet for Tangent

Barmhjertigt er der kun én måde at skrive dobbeltvinkelsesidentiteten til tangentfunktionen på:

< li> tan (2θ) = (2tanθ) /(1 - tan ^2θ)
Brug af dobbeltvinklede identiteter

Forestil dig at du står over for en rigtig trekant, hvor du kender længden af sine sider, men ikke målingen af dets vinkler. Du er blevet bedt om at finde θ, hvor θ er en af trekants vinkler. Hvis trekantens hypotenuse måler 10 enheder, måler siden ved siden af din vinkel 6 enheder, og siden modsat vinklen måler 8 enheder, det betyder ikke noget, at du ikke kender målingen af θ; du kan bruge din viden om sinus og cosinus, plus en af de dobbeltvinklede formler, for at finde svaret.

Find Sine og Cosine

Når du har valgt en vinkel, kan du definerer sinus som forholdet mellem den modsatte side over hypotenusen og cosinus som forholdet mellem den tilstødende side over hypotenusen. Så i det givne eksempel har du:

sinθ = 8/10

cosθ = 6/10

Du finder disse to udtryk fordi de er de vigtigste byggeklodser til dobbeltvinkelformlerne.

Vælg en dobbeltvinkelformel

Fordi der er så mange dobbeltvinklede formler at vælge imellem, kan du vælge den, der ligner lettere at beregne og vil returnere den type information, du har brug for. I dette tilfælde, fordi du kender sinθ og cosθ allerede, ser synden (2θ) = 2sinθcosθ sig praktisk.

Erstatning i kendte værdier

Du ved allerede værdierne for sinθ og cosθ, så erstat dem ind i ligningen:

synd (2θ) = 2 (8/10) (6/10)

Når du forenkler, har du:

synd ) = 96/100

Konverter til decimalform

De fleste trigonometriske diagrammer er angivet i decimaler, så næste arbejder divisionen repræsenteret af brøkdelen for at konvertere den til decimalform. Nu har du:

Synd (2θ) = 0.96

Find den Inverse Sine

Endelig finder du den inverse sinus eller arcsin på 0,96, som er skrevet som synd ^{-1 (0,96). Eller med andre ord, brug din regnemaskine eller et diagram til at approximere vinklen med en sinus på 0,96. Som det viser sig, er det næsten lige så meget som 73,7 grader. Så 2θ = 73,7 grader.}
Løs for θ

Opdel hver side af ligningen med 2. Dette giver dig:

θ = 36,85 grader}}

Sidste artikelSådan finder du domænet for en kvadratrødfunktion

Næste artikelSådan beregnes reaktionshastighed