Løsning af tre variable ligninger

Kig efter steder, hvor tilføjelse af to ligninger sammen får mindst én af variablerne til at annullere sig selv.

1. Vælg to ligninger og kombiner
   
   

   Vælg to af ligningerne og kombiner dem for at eliminere en af variablerne. I dette eksempel vil tilføjelse af ligning # 1 og ligning # 2 annullere variablen y
   og efterlade dig følgende nye ligning:
   

   Ny ligning # 1: 7_x_ - 2_z_ \u003d 12
   

2. Gentag trin 1 med et andet sæt ligninger
   
   

   Gentag trin 1, denne gang ved at kombinere et forskelligt sæt af to ligninger, men fjerne samme
   variabel. Overvej ligning nr. 2 og ligning # 3:
   
   

3. Ligning # 2: 5_x_ - y
   - 5_z_ \u003d 2
   
   
4. Ligning # 3: x
   + 2_y_ - z
   \u003d 7
   
   
   

   I dette tilfælde annullerer ikke y
   variablen med det samme. Så før du tilføjer de to ligninger sammen, skal du multiplicere begge sider af ligning nr. 2 med 2. Dette giver dig:
   
   

5. Ligning # 2 (ændret): 10_x_ - 2_y_ - 10_z_ \u003d 4
   
   
6. Ligning # 3: x
   + 2_y_ - z
   \u003d 7
   
   
   

   Nu vil 2_y_ vilkårene annullere hinanden, giver dig en ny ny ligning:
   

   Ny ligning # 2: 11_x_ - 11_z_ \u003d 11
   

7. Fjern en anden variabel
   
   

   Kombiner de to nye ligninger, du oprettede, med mål at fjerne endnu en variabel:
   
   

8. Ny ligning # 1: 7_x_ - 2_z_ \u003d 12
   
   
9. Ny ligning # 2: 11_x_ - 11_z_ \u003d 11
   
   
   

   Ingen variabler annullerer sig selv endnu, så du bliver nødt til at ændre begge ligninger. Multiplicer begge sider af den første nye ligning med 11, og multiplicer begge sider af den anden nye ligning med -2. Dette giver dig:
   
   

10. Ny ligning nr. 1 (ændret): 77_x_ - 22_z_ \u003d 132
    
    
11. Ny ligning # 2 (ændret): -22_x_ + 22_z_ \u003d -22
    
    
    

    Tilføj begge ligninger sammen og forenkle, hvilket giver dig:
    

    x
    \u003d 2
    

12. Udskift værdien tilbage i
    
    

    Nu, hvor du kender værdien af x
    , kan du erstatte den i de originale ligninger. Dette giver dig:
    
    

13. Substitueret ligning # 1: y
    + 3_z_ \u003d 6
    
    
14. Substitueret ligning # 2: - y
    - 5_z_ \u003d -8
    
    
15. Substitueret ligning # 3: 2_y_ - z
    \u003d 5
    
    
    
16. Kombiner to ligninger
    
    

    Vælg to af de nye ligninger, og kombiner dem for at eliminere en anden af variablerne. I dette tilfælde tilføjer tilføjet substitueret ligning nr. 1 og substitueret ligning # 2 y og annulleres pænt. Efter forenkling har du:
    

    z
    \u003d 1
    

17. Udskift værdien i
    
    

    Udskift værdien fra trin 5 i en hvilken som helst en af de substituerede ligninger, og løst derefter for den resterende variabel, y.
    Overvej substitueret ligning # 3:
    

    Substitueret ligning # 3: 2_y_ - z
    \u003d 5
    

    At erstatte værdien for z
    giver dig 2_y_ - 1 \u003d 5, og løse for y
    bringer dig til:
    

    y
    \u003d 3.
    

    Så løsningen for dette ligningssystem er x
    \u003d 2, y
    \u003d 3 og z
    \u003d 1 .
    
    Løsning ved substitution
    

    Du kan også løse det samme system af ligninger ved hjælp af en anden teknik kaldet substitution. Her er eksemplet igen:
    
    

18. Ligning nr. 1: 2_x_ + y og + 3_z_ \u003d 10
    
    
19. Ligning # 2: 5_x_ - y
    - 5_z_ \u003d 2
    
    
20. Ligning # 3: x
    + 2_y_ - z
    \u003d 7
    
    
    1. Vælg en variabel og ligning
       
       

       Vælg en hvilken som helst variabel og løst en ligning for den pågældende variabel. I dette tilfælde fungerer løsning af ligning nr. 1 for y
       let til:
       

       y
       \u003d 10 - 2_x_ - 3_z_
       

    2. Erstatter det i en anden Ligning
       
       

       Indsæt den nye værdi for y
       i de andre ligninger. I dette tilfælde skal du vælge Ligning # 2. Dette giver dig:
       
       

    3. Ligning nr. 2: 5_x_ - (10 - 2_x_ - 3_z_) -
       5z \u003d 2
       
       
    4. Ligning nr. 3: < em> x
       + 2 (10 - 2_x_ - 3z
       ) - z
       \u003d 7
       
       
       

       Gør dit liv lettere ved at forenkle begge ligninger:
       
       

    5. Ligning # 2: 7_x_ - 2_z_ \u003d 12
       
       
    6. Ligning nr. 3: -3_x_ - 7_z_ \u003d -13
       
       
    7. Forenkle og Løs for en anden variabel
       
       

       Vælg en af de resterende to ligninger, og løs for en anden variabel. I dette tilfælde skal du vælge Ligning # 2 og z
       . Dette giver dig:
       

       z
       \u003d (7_x –_ 12) /2
       

    8. Erstat denne værdi
       
       

       Udskift værdien fra trin 3 ind i den endelige ligning, der er nr. 3. Dette giver dig:
       

       -3_x_ - 7 [(7_x –_ 12) /2] \u003d -13
       

       Tingene bliver lidt rodede her, men når du forenkler dig, vil du være tilbage til :
       

       x
       \u003d 2
       

    9. Back-substitutt Denne værdi
       
       

       "Back-substitut" værdien fra trin 4 i de to- variabel ligning, du oprettede i trin 3, z
       \u003d (7_x - 12) /2. Dette giver dig mulighed for at løse for _z.
       (i dette tilfælde z
       \u003d 1).
       

       Herefter erstattes værdien x
       og < em> z
       værdi i den første ligning, som du allerede havde løst for y
       . Dette giver dig:
       

       y
       \u003d 10 - 2 (2) - 3 (1)
       

       ... og forenkling giver dig værdien y
       \u003d 3.
       
       Kontroller altid dit arbejde
       

       Bemærk, at begge metoder til løsning af ligningssystemet bragte dig til den samme løsning: ( x
       \u003d 2, y
       \u003d 3, z
       \u003d 1). Kontroller dit arbejde ved at erstatte denne værdi i hver af de tre ligninger.