Hypotetisk sfærisk planet består udelukkende af jern. Hvad er den periode en satellit, der kredserer dette lige over dens overflade?

1. Forstå koncepterne

* orbital periode: Den tid det tager for en satellit at gennemføre en fuld bane omkring en planet.

* Newtons Law of Universal Gravitation: Tyngdekraften mellem to objekter er proportional med produktet af deres masser og omvendt proportional med kvadratet på afstanden mellem deres centre.

* centripetal kraft: Kraften, der holder et objekt i bevægelse i en cirkulær sti.

2. Nøgle ligninger

* Newtons Law of Universal Gravitation: F =g * (m1 * m2) / r²

* F =tyngdekraft

* G =gravitationskonstant (6.674 × 10⁻¹¹ N⋅m²/kg²)

* m1 =planetens masse

* m2 =masse af satellitten

* r =afstand mellem planetens centre og satellit

* centripetal kraft: F =(m2 * v²) / r

* F =centripetal kraft

* m2 =masse af satellitten

* V =orbitalhastighed

* r =radius af bane

* orbital hastighed: v =2πr / t

* V =orbitalhastighed

* r =radius af bane

* T =orbital periode

3. Antagelser og variabler

* Planet's Radius (R): Vi har brug for dette for at beregne orbitalradius.

* Planetens densitet (ρ): Jern har en densitet på ca. 7874 kg/m³. Vi bruger dette til at bestemme planetens masse.

4. Beregninger

* Planetens masse (M):

* M =(4/3) πr³ρ

* orbital radius (R):

* Da satellitten er lige over overfladen, r ≈ r

* Lig centripetal og gravitationskræfter:

* (m2 * v²) / r =g * (m * m2) / r²

* Annuller satellitmasse (M2) og forenkle:

* v² =g * m / r

* Stedfortræder orbitalhastighed (V) i form af periode (t):

* (2πr / t) ² =g * m / r

* Løs for t:

* T² =(4π²r³) / (g * m)

* T =√ [(4π²r³) / (g * m)]

5. Tilslut værdier og løsning

1. Bestem planetens masse (M): Du skal kende radius for jernplaneten (R) for at beregne dens masse ved hjælp af formlen for M ovenfor.

2. erstatning m og r i ligningen for t.

Eksempel:

Lad os antage, at jernplaneten har en radius (R) på 6.371 km (ca. Jordens radius).

* Planetens masse (M):

* M =(4/3) π (6.371.000 m) ³ * (7874 kg/m³) ≈ 3,24 × 10²⁵ kg

* orbital periode (t):

* T =√ [(4π² (6.371.000 m) ³) / (6.674 × 10⁻¹¹ N⋅m² / kg² * 3,24 × 10²⁵ kg)]

* T ≈ 5067 sekunder ≈ 1,41 timer

Vigtig note: Denne beregning antager en perfekt sfærisk planet og forsømmer alle atmosfæriske effekter eller variationer i planetens densitet.