"What is Pascals Triangle?

", 3, [[

Hvis du kan lide matemathediteter, vil du elske Pascal's trekant. Opkaldt efter den franske matematiker fra det 17. århundrede Blaise Pascal og kendt af kineserne i mange århundreder før Pascal som Yanghui-trekanten, er det faktisk mere end en mærkelighed. Det er et specifikt arrangement af tal, der er utroligt nyttigt i algebra og sandsynlighedsteori. Nogle af dens egenskaber er mere forvirrede og interessante, end de er nyttige. De hjælper med at illustrere verdens mystiske harmoni som beskrevet med tal og matematik.

TL; DR (for lang; læste ikke)

Pascal afledte trekanten ved at udvide (x + y) ^ n for at øge værdierne for n og arrangere koefficienterne for udtrykkene i et trekantet mønster. Det har mange interessante og nyttige egenskaber.
Konstruktion af Pascal's trekant

Reglen til konstruktion af Pascal's trekant kunne ikke være lettere. Start med nummer et på toppen og dann den anden række under det med et par. For at konstruere den tredje og alle efterfølgende rækker skal du starte med at sætte en i begyndelsen og slutningen. Afleder hvert ciffer mellem dette par ved at tilføje de to cifre umiddelbart over det. Den tredje række er således 1, 2, 1, den fjerde række er 1, 3, 3, 1, den femte række er 1, 4, 6, 4, 1 og så videre. Hvis hvert ciffer optager en boks, der har samme størrelse som alle de andre bokse, danner arrangementet en perfekt ligesidet trekant afgrænset på to sider af dem og med en base, der er lig i længden som antallet af rækken. Rækkerne er symmetriske, idet de læser de samme baglæns og fremad.
Brug af Pascal's trekant i Algebra

Pascal opdagede trekanten, som i århundreder var kendt for persiske og kinesiske filosofer, da han studerede algebraisk udvidelse af udtrykket (x + y) ^{n. Når du udvider dette udtryk til den niende magt, svarer koefficienterne for udtrykkene i udvidelsen til numrene i den niende række i trekanten. For eksempel (x + y) 0 \u003d 1; (x + y) 1 \u003d x + y; (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 og så videre. Af denne grund kalder matematikere undertiden arrangementet trekanten af binomiale koefficienter. For et stort antal n er det naturligvis lettere at læse udvidelseskoefficienterne fra trekanten end det er at beregne dem.
Pascal's Triangle in Probability Theory}

Antag, at du kaster en mønt et bestemt antal gange. Hvor mange kombinationer af hoveder og haler kan du få? Du kan finde ud af det ved at se på rækken i Pascal's trekant, der svarer til antallet af gange, du kaster mønten og tilføjer alle numrene i den række. For eksempel, hvis du kaster mønten 3 gange, er der 1 + 3 + 3 + 1 \u003d 8 muligheder. Sandsynligheden for at få det samme resultat tre gange i træk er derfor 1/8.

Tilsvarende kan du bruge Pascal's trekant til at finde, hvor mange måder du kan kombinere objekter eller valg fra et givet sæt. Antag, at du har 5 bolde, og du vil vide, hvor mange måder du kan vælge to af dem. Bare gå til den femte række og se på den anden post for at finde svaret, der er 5.
Interessante mønstre

Pascalens trekant indeholder et antal interessante mønstre. Her er nogle af dem: