Sådan finder du den centrale vinkel

Forestil dig, at du står midt i en perfekt cirkulær arena. Du ser ud mod folkemængderne langs siderne af arenaen, og du placerer din bedste ven på et sæde og din gymnasiet matematiklærer et par sektioner over. Hvad er afstanden mellem dem og dig? Hvor langt er du nødt til at gå for at rejse fra din vens plads til din lærersæde? Hvad er målene for vinklerne imellem dig? Dette er alt spørgsmål relateret til centrale vinkler.

En central vinkel er den vinkel, der dannes, når to radier trækkes fra midten af cirklen til dens kanter. I dette eksempel er de to radier dine to synslinjer fra dig, i centrum af arenaen, til din ven og din synslinie til din lærer. Vinklen, der dannes mellem disse to linjer, er den centrale vinkel. Det er den vinkel, der er tættest på cirklens centrum.

Din ven og din lærer sidder langs omkredsen eller kanterne af cirklen. Stien langs arenaen, der forbinder dem er en bue.
Find den centrale vinkel fra lysbue og omkreds

Der er et par ligninger, du kan bruge til at finde den centrale vinkel. Undertiden får du buelængde, afstanden langs omkredsen mellem to punkter. (I eksemplet er dette afstanden, du skulle have til at gå rundt i arenaen for at komme fra din ven til din lærer.) Forholdet mellem central vinkel og lysbue er:

(lysbue) ÷ omkreds \u003d (central vinkel) ÷ 360 °

Den centrale vinkel vil være i grader.

Denne formel giver mening, hvis du tænker over det. Længden af lysbuen ud af den samlede længde omkring cirklen (omkreds) er den samme andel som lysbueens vinkel ud af den samlede vinkel i en cirkel (360 grader).

For at bruge denne ligning effektivt, skal du har brug for at kende cirkelens omkreds. Men du kan også bruge denne formel til at finde buelængde, hvis du kender den centrale vinkel og omkredsen. Eller, hvis du har buelængden og den centrale vinkel, kan du finde omkredsen!
Find den centrale vinkel fra lysbuens længde og radius.

Du kan også bruge cirkelens radius og lysbuen længde for at finde den centrale vinkel. Kald målet for den centrale vinkel θ. Derefter:

θ \u003d s ÷ r, hvor s er buelængden og r er radien. θ måles i radianer.

Igen kan du omarrangere denne ligning afhængigt af de oplysninger, du har. Du kan finde buens længde fra radius og den midterste vinkel. Eller du kan finde radius, hvis du har den centrale vinkel og buelængden.

Hvis du vil have buelængden, ser ligningen sådan ud:

s \u003d θ * r, hvor s er buelængden, r er radius, og θ er den centrale vinkel i radianer.
Den centrale vinkelsætning

Lad os tilføje et twist til dit eksempel, hvor du er i arenaen med din nabo og din lærer. Nu er der en tredje person, du kender på arenaen: din nabo ved siden af. Og en ting til: De er bag dig. Du skal vende dig for at se dem.

Din nabo er omtrent på tværs af arenaen fra din ven og din lærer. Fra din nabos synspunkt er der en vinkel dannet af deres synslinie for venen og deres synslinie for læreren. Det kaldes en indskrevet vinkel. En indskrevet vinkel er en vinkel, der er dannet af tre punkter langs en cirkels omkreds.

Den centrale vinkelsætning forklarer forholdet mellem størrelsen på den centrale vinkel, der er dannet af dig, og den indskrevne vinkel dannet af din nabo. Den centrale vinklingsteorem siger, at den centrale vinkel er det dobbelte af den indskrevne vinkel. (Dette antager, at du bruger de samme slutpunkter. Du ser begge på læreren og venen, ikke nogen anden).

Her er en anden måde at skrive det på. Lad os kalde din vens sæde A, din lærersæde B og din nabo sæde C. Du i midten kan være O.

Så for tre punkter A, B og C langs omkredsen af en cirkel og punkt O i midten, den centrale vinkel ∠AOC er det dobbelte af den indskrevne vinkel ∠ABC.

Det vil sige ∠AOC \u003d 2∠ABC.

Dette giver mening. Du er tættere på venen og læreren, så for dig ser de længere fra hinanden (en større vinkel). Til din nabo på den anden side af stadionet ser de meget tættere sammen (en mindre vinkel).
Undtagelse fra det centrale vinkletorem

Lad os nu flytte tingene op. Din nabo på ydersiden af arenaen begynder at bevæge sig rundt! De har stadig en synslinie for venen og læreren, men linierne og vinklerne skifter hele tiden, når naboen bevæger sig. Gæt hvad: Så længe naboen forbliver udenfor lysbuen mellem venen og naboen, gælder den centrale vinkelsetning stadig!

Men hvad sker der, når naboen flytter mellem venen og læreren? Nu er din nabo inden i den mindre bue, den relativt lille afstand mellem ven og lærer sammenlignet med den større afstand omkring resten af arenaen. Derefter når du en undtagelse fra den centrale vinkelsætning.

Undtagelsen fra den centrale vinkelsetning siger, at når punkt C, naboen, er inden i den mindre bue, er den indskrevne vinkel supplementet til halve den centrale vinkel . (Husk, at en vinkel og dens supplement tilføjes til 180 grader.)

Så: indskrevet vinkel \u003d 180 - (central vinkel ÷ 2)

Eller: ∠ABC \u003d 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiser

Math Open Reference har et værktøj til at visualisere Central Angle Theorem og dens undtagelse. Du får til at trække "naboen" til alle forskellige dele af cirklen og se, hvordan vinklerne ændrer sig. Prøv det, hvis du vil have en visuel eller ekstra praksis!