Sådan bestemmes en cirkels centrale vinkel

Forestil dig, at du står i midten af en perfekt cirkulær arena og kigger ud på folkemængderne rundt om kanten. Du får øje på en ven på et sæde og en lærer på et andet. Hvor langt fra hinanden er de? Hvilken vinkel danner sigtelinjerne mellem dig og hver af dem? Disse spørgsmål besvares med begrebet en central vinkel .

En central vinkel er vinklen dannet af to radier trukket fra midten af cirklen til to punkter på dens omkreds. De to radier er sigtelinjerne fra dig til vennen og til læreren. Vinklen mellem dem er den centrale vinkel, vinklen tættest på midten af cirklen.

Vennen og læreren sidder på omkredsen af cirklen. Den buede sti langs kanten, der forbinder dem, kaldes en bue .

Find den centrale vinkel ud fra buens længde og omkreds

Hvis du kender buelængden (den afstand, du ville gå langs arenaen for at komme fra vennen til læreren) og den samlede omkreds af cirklen er forholdet mellem de to:

buelængde/omkreds =midtervinkel / 360°

Omarrangering giver:

centervinkel =(buelængde/omkreds) × 360°

Denne andel fungerer, fordi den brøkdel af cirklens omkreds, som buen optager, er nøjagtig den samme brøkdel af den fulde 360° vinkel.

Find den centrale vinkel ud fra buelængde og radius

Når radius r af cirklen er kendt, kan du beregne den centrale vinkel i radianer med:

θ =s/r

hvor s er buelængden. Resultatet θ måles i radianer. Hvis du foretrækker grader, skal du gange radianværdien med 57,2958 (eller blot bruge omkredsmetoden ovenfor).

Du kan også løse for buelængden:

s =θ × r

eller for radius, når buelængden og midtervinklen er angivet:

r =s / θ

Centralvinkelsætningen

Overvej en tredje person - din nabo - der sidder på den modsatte side af arenaen. Fra naboens perspektiv danner de to sigtelinjer til vennen og læreren en indskrevet vinkel (en vinkel, hvis toppunkter ligger på omkredsen). Centralvinkelsætningen forbinder denne indskrevne vinkel med den centrale vinkel, du observerer:

∠AOC =2∠ABC

Her er punkt A og B ven og lærer, C er nabo, og O er centrum. Sætningen gælder, når naboen ligger på samme side af akkorden AB som den bue, der ikke indeholder de andre punkter.

Undtagelse fra Central Angle Theorem

Når det indskrevne punkt C bevæger sig inden for den lille bue mellem A og B ændres forholdet. Den indskrevne vinkel bliver supplement til halvdelen af midtervinklen:

∠ABC =180° – (∠AOC / 2)

Med andre ord er den indskrevne vinkel og den halve midtervinkel tilsammen 180°.

Visualiser koncepterne

Math Open Reference tilbyder et interaktivt værktøj, der lader dig trække naboen rundt i cirklen og observere, hvordan de centrale og indskrevne vinkler udvikler sig i realtid. Prøv det for at få en praktisk forståelse af teorien.

DragonImages/iStock/GettyImages