Tal begrænser, hvor præcist digitale computere modellerer kaos

Digitale computere bruger finit præcision aritmetik, hvilket betyder, at de kun kan repræsentere tal med et endeligt antal cifre. Dette kan føre til fejl ved modellering af kaotiske systemer, som ofte er karakteriseret ved meget små forskelle i begyndelsesbetingelser, hvilket fører til store forskelle i langsigtet adfærd.

For at illustrere dette, overvej følgende enkle kaotiske system:

$$\begin{ligning}

x_{n+1} =4x_n(1-x_n)

\end{equation}$$

hvor $x_n$ er systemets tilstand på tidspunktet $n$. Hvis vi simulerer dette system ved hjælp af en computer med finit præcision aritmetik, vil vi uundgåeligt introducere fejl i beregningen af ​​$x_n$. Disse fejl vil vokse over tid, hvilket i sidste ende fører til store forskelle mellem systemets simulerede og faktiske adfærd.

Nøjagtigheden af ​​en digital computersimulering af et kaotisk system kan forbedres ved at bruge højere præcision aritmetik, men dette kommer på bekostning af øget beregningstid og hukommelsesforbrug. I nogle tilfælde kan det være nødvendigt at bruge specielle teknikker, såsom adaptiv trinstørrelseskontrol, for at sikre, at fejlene forbliver små nok til ikke at påvirke resultaterne af simuleringen væsentligt.