Hvad er forskydningen af ​​et objekt SHM, når kinetiske og potentielle energier er ens?

forståelse af koncepterne

* Enkel harmonisk bevægelse (SHM): En type periodisk bevægelse, hvor gendannelse af kraft er proportional med forskydningen fra ligevægt. Eksempler inkluderer en masse på en forår eller en pendul.

* kinetisk energi (KE): Bevægelsesenergien, beregnet som ke =(1/2) mv², hvor m er masse og v er hastighed.

* potentiel energi (PE): Lagret energi på grund af et objekts position eller konfiguration. I SHM er den potentielle energi normalt forbundet med gendannelse af kraft (f.eks. Forårets potentielle energi).

afledning

1. Samlet energi: Den samlede mekaniske energi (E) i SHM er konstant og er summen af ​​kinetisk og potentiel energi:

E =ke + pe

2. Lige energier: Når KE =PE, kan vi omskrive den samlede energiligning som:

E =2ke =2Pe

3.

* Ke =(1/2) mv²

* Pe =(1/2) kx², hvor k er fjederkonstanten (eller en lignende gendannelse af kraft konstant) og x er forskydningen fra ligevægt.

4. Ligning af energier:

2 [(1/2) mv²] =2 [(1/2) kx²]

mv² =kx²

5. hastighed i SHM: Hastigheden (v) for et objekt i SHM kan udtrykkes som:

v =ω√ (a² - x²) hvor ω er vinkelfrekvensen og a er amplituden af ​​svingningen.

6. erstatning og løsning: Udskift hastighedsudtrykket i energiligningen:

m [ω√ (a² - x²)] ² =kx²

Mω² (a² - x²) =kx²

7. forenkling: Omarranger ligningen for at løse for X:

mω²a² =(mω² + k) x²

x² =(mω²a²) / (mω² + k)

8. ved hjælp af forholdet mellem ω og k: Husk, at ω² =k/m. Udskiftning af dette i ligningen:

x² =(mω²a²) / (mΩ² + MΩ²)

x² =(mΩ²a²) / (2mΩ²)

x² =a²/2

9. forskydning: Tager kvadratroden af ​​begge sider:

x =a/√2

Konklusion

Når de kinetiske og potentielle energier af et objekt i enkel harmonisk bevægelse er ens, er forskydningen (x) lig med amplituden (a) divideret med kvadratroten på 2. dette betyder, at objektet er i en position ca. 70,7% af vejen fra dens ligevægtsposition til dens maksimale amplitude.