Sådan fungerer fraktaler

Fraktaler er et paradoks. Utroligt enkelt, men alligevel uendeligt kompleks. Ny, men ældre end snavs. Hvad er fraktaler? Hvor kom de fra? Hvorfor skal jeg bekymre mig?

Ukonventionel matematiker fra det 20. århundrede Benoit Mandelbrot skabte udtrykket fraktal fra det latinske ord fraktus (hvilket betyder uregelmæssig eller fragmenteret) i 1975. Disse uregelmæssige og fragmenterede former er rundt omkring os. På deres mest grundlæggende, fraktaler er et visuelt udtryk for et gentaget mønster eller en formel, der starter enkelt og gradvist bliver mere kompleks.

En af de tidligste anvendelser af fraktaler opstod i god tid, før udtrykket overhovedet blev brugt. Lewis Fry Richardson var en engelsk matematiker i begyndelsen af ​​det 20. århundrede og studerede længden af ​​den engelske kystlinje. Han begrundede, at længden af ​​en kystlinje afhænger af måleværktøjets længde. Mål med en målestok, du får et nummer, men mål med en mere detaljeret fodlang lineal, som tager mere højde for kystlinjens uregelmæssighed, og du får et større antal, og så videre.

Gør dette til sin logiske konklusion, og du ender med en uendelig lang kystlinje, der indeholder et begrænset rum, det samme paradoks fremført af Helge von Koch i Koch Snowflake. Denne fraktal involverer at tage en trekant og dreje den centrale tredjedel af hvert segment til en trekantet bump på en måde, der gør fraktalen symmetrisk. Hver bump er, selvfølgelig, længere end det originale segment, men alligevel indeholder den endelige plads indeni.

Mærkelig, men i stedet for at konvergere på et bestemt tal, omkredsen bevæger sig mod uendelig. Mandelbrot så dette og brugte dette eksempel til at undersøge begrebet fraktal dimension, undervejs beviser, at måling af en kystlinje er en øvelse i tilnærmelse [kilde:NOVA].

Hvis fraktaler virkelig har eksisteret hele denne tid, hvorfor har vi kun hørt om dem i de sidste 40 år eller deromkring?

1. Fraktal terminologi
2. Før de var fraktaler
3. Matematik bag skønheden
4. Praktiske fraktaler

Fraktal terminologi

Inden vi går mere i detaljer, vi skal dække nogle grundlæggende terminologier, der hjælper dig med at forstå de unikke kvaliteter, som fraktaler besidder.

Alle fraktaler viser en grad af, hvad der kaldes selv-lighed . Det betyder, at når du ser tættere og tættere på detaljerne i en fraktal, du kan se en kopi af helheden. En bregne er et klassisk eksempel. Se hele frondet. Kan du se grenene komme ud af hovedstammen? Hver af disse grene ligner hele frondet. De ligner selv originalen, bare i mindre skala.

Disse selvlignende mønstre er resultatet af en simpel ligning, eller matematisk udsagn. Fraktaler skabes ved at gentage denne ligning gennem en feedback loop i en proces kaldet iteration , hvor resultaterne af en iteration danner inputværdien for den næste. For eksempel, hvis du ser på det indre af en nautilus skal, du vil se, at hvert kammer i skallen dybest set er en carbonkopi af det foregående kammer, bare mindre, når du sporer dem fra ydersiden til det indre.

Fraktaler er også rekursiv, uanset skala. Har du nogensinde gået ind i en butiks omklædningsrum og befinder dig omgivet af spejle? På godt og ondt, du ser på et uendeligt rekursivt billede af dig selv.

Endelig, en note om geometri. De fleste af os voksede op med at blive undervist i den længde, bredde og højde er de tre dimensioner, og det er det. Fraktal geometri kaster dette koncept en kurve ved at skabe uregelmæssige former i fraktal dimension ; en fraktals dimension er en måde at måle formens kompleksitet på.

Tag nu alt det, og vi kan tydeligt se, at a ren fraktal er en geometrisk form, der er selvlignende gennem uendelige iterationer i et rekursivt mønster og gennem uendelige detaljer. Enkel, ret? Bare rolig, vi går snart over alle stykkerne.

Før de var fraktaler

Når de fleste mennesker tænker på fraktaler, de tænker ofte på den mest berømte af dem alle, Mandelbrot -sættet. Opkaldt efter matematikeren Benoit Mandelbrot, det er praktisk talt blevet synonymt med fraktalbegrebet. Men det er langt fra at være den eneste fraktal i byen.

Vi nævnte bregnen tidligere, som repræsenterer en af ​​naturens enkle og begrænsede fraktaler. Begrænsede fraktaler fortsætter ikke på ubestemt tid; de viser kun få gentagelser af kongruente former. Enkle og begrænsede fraktaler er heller ikke nøjagtige i deres selvlighed-en bregnes foldere efterligner muligvis ikke perfekt formen på den større frond. Spiralen i en muslingeskal og krystallerne i et snefnug er to andre klassiske eksempler på denne type fraktal, der findes i den naturlige verden. Selvom det ikke er matematisk præcist, de har stadig en fraktal karakter.

Tidlige afrikanske og Navajo -kunstnere lagde mærke til skønheden i disse rekursive mønstre og søgte at efterligne dem i mange aspekter af deres hverdag, herunder kunst og byplanlægning [kilder:Eglash, Baller]. Som i naturen, antallet af rekursive iterationer af hvert mønster var begrænset af omfanget af det materiale, de arbejdede med.

Leonardo da Vinci så også dette mønster i trægrene, efterhånden som træets lemmer voksede og delte sig i flere grene [kilde:Da Vinci]. I 1820, Den japanske kunstner Katsushika Hokusai skabte "The Great Wave Off Kanagawa, "en farverig gengivelse af en stor havbølge, hvor toppen bryder ned i mindre og mindre (selvlignende) bølger [kilde:NOVA].

Matematikere kom til sidst også ind på handlingen. Gaston Julia udtænkte ideen om at bruge en feedback loop til at producere et gentaget mønster i begyndelsen af ​​det 20. århundrede. Georg Cantor eksperimenterede med egenskaber ved rekursive og selvlignende sæt i 1880'erne, og i 1904 offentliggjorde Helge von Koch begrebet en uendelig kurve, ved hjælp af omtrent samme teknik, men med en kontinuerlig linje. Og selvfølgelig, vi har allerede nævnt Lewis Richardson, der udforskede Kochs idé, mens han forsøgte at måle engelske kystlinjer.

Disse undersøgelser af så kompleks matematik var for det meste teoretiske, imidlertid. Der manglede dengang en maskine, der var i stand til at udføre grynet af så mange matematiske beregninger på rimelig tid for at finde ud af, hvor disse ideer virkelig førte. Efterhånden som computernes magt udviklede sig, det samme gjorde matematikernes evne til at teste disse teorier.

I det næste afsnit, vi vil se på matematikken bag fraktal geometri.

Matematik bag skønheden

Vi tænker på bjerge og andre objekter i den virkelige verden som tre dimensioner. I euklidisk geometri tildeler vi værdier til et objekts længde, højde og bredde, og vi beregner attributter som areal, volumen og omkreds baseret på disse værdier. Men de fleste objekter er ikke ensartede; bjerge, for eksempel, har hakkede kanter. Fraktal geometri gør det muligt for os mere præcist at definere og måle kompleksiteten af ​​en form ved at kvantificere, hvor ru overfladen er. Bjergets hakkede kanter kan udtrykkes matematisk:Indtast fraktaldimensionen, som per definition er større end eller lig med et objekts euklidiske (eller topologiske) dimension (D => D _T ).

En relativt enkel måde at måle dette på kaldes box-counting (eller Minkowski-Bouligand Dimension) metode. For at prøve det, Læg en fraktal på et stykke gitterpapir. Jo større fraktal og mere detaljeret gitterpapir, desto mere nøjagtig bliver beregningen af ​​dimensioner.

D =log N / log (1 / t)

I denne formel, D er dimensionen, N er antallet af gitterkasser, der indeholder en del af fraktalen indeni, og h er antallet af gitterblokke, fraktalerne spænder over grafpapiret. Imidlertid, mens denne metode er enkel og tilgængelig, det er ikke altid det mest præcise.

En af de mere standardmetoder til måling af fraktaler er at bruge Hausdorff Dimension, som er D =log N / log s, hvor N er antallet af dele, en fraktal producerer fra hvert segment, og s er størrelsen på hver ny del i forhold til det originale segment. Det ser enkelt ud, men afhængigt af fraktalen, dette kan blive kompliceret ret hurtigt.

Du kan producere et uendeligt antal fraktaler bare ved at ændre et par af de første betingelser for en ligning; det er her, kaosteorien kommer ind. På overfladen, kaosteori lyder som noget helt uforudsigeligt, men fraktal geometri handler om at finde rækkefølgen i det, der oprindeligt ser ud til at være kaotisk. Begynd at tælle de mange måder, du kan ændre disse indledende ligningsbetingelser på, og du vil hurtigt forstå, hvorfor der er et uendeligt antal fraktaler.

Du renser dog ikke gulvet med Menger -svampen, så hvad hjælper fraktaler alligevel?

Nogle fraktaler starter med et grundlæggende linjesegment eller en struktur og tilføjer det. En dragekurve er lavet på denne måde. Andre er reducerende, begyndende som en fast form og gentagne gange trække fra den. Sierpinski -trekanten og Menger -svampen er begge i den gruppe. Flere kaotiske fraktaler udgør en tredje gruppe, skabt ved hjælp af relativt enkle formler og tegnet dem millioner af gange på et kartesisk gitter eller et komplekst plan. Mandelbrot -sættet er rockstjernen i denne gruppe, men Strange Attractors er også ret seje. Disse billeder er alle udtryk for matematiske formler.

Praktiske fraktaler

Efter at Mandelbrot i 1975 offentliggjorde sit skelsættende arbejde om fraktaler, en af ​​de første praktiske anvendelser skete i 1978, da Loren Carpenter ville lave nogle computergenererede bjerge. Brug af fraktaler, der begyndte med trekanter, han skabte en fantastisk realistisk bjergkæde [kilde:NOVA].

I 1990'erne blev Nathan Cohen inspireret af Koch Snowflake til at oprette en mere kompakt radioantenne ved hjælp af andet end ledning og en tang. I dag, antenner i mobiltelefoner bruger sådanne fraktaler som Menger -svampen, boksens fraktal og rumfyldende fraktaler som en måde at maksimere modtagelig kraft i en minimal mængde plads [kilde:Cohen].

Selvom vi ikke har tid til at gå ind på alle de anvendelser, fraktaler har for os i dag, et par andre eksempler omfatter biologi, medicin, modellering af vandområder, geofysik, og meterologi med skydannelse og luftstrømme [kilde:NOVA].

Denne artikel er beregnet til at få dig i gang i den forbløffende verden af ​​fraktal geometri. Hvis du har en matematisk bøjning, vil du måske udforske denne verden meget mere ved hjælp af kilderne på den næste side. Mindre matematisk tilbøjelige læsere vil måske udforske det uendelige potentiale i kunsten og skønheden i denne utrolige og komplekse inspirationskilde.

Tag et tomt ark papir, og tegne en lige linje fra midten til bunden. Tegn nu to linjer, halvt så lang som den første, kommer ud i 45 graders vinkler op fra toppen af ​​den første linje, danner et Y. Gør det igen for hver gaffel i Y. Det er den første iteration i din fraktal. Bliv ved med hver gaffel. Ved den tredje eller fjerde iteration begynder du at indse, hvorfor fraktal geometri ikke blev udviklet før computeralderen. Tillykke - du har lige lavet en fraktal baldakin! Bland det ved at ændre de første linjer lidt (eller meget) og se, hvad der sker.

Oprindeligt udgivet:26. apr. 2011

Fraktal Ofte stillede spørgsmål

Hvad er fraktalmønstre?

Hvad er den mest berømte fraktal?

Hvor finder du fraktaler?

Hvordan bruges fraktaler i det virkelige liv?

Masser mere information

relaterede artikler

• Sådan fungerer Tessellations
• Hvordan M.C. Escher arbejdede
• Kan vores hjerne se den fjerde dimension?

Kilder

• Baller, Judy. "Tænker inde i kassen:uendeligt inden for det endelige." Surface Design Journal. Side 50-53. Efterår 2010.
• Cohen, Nathan. "Fraktale antenner, Del 1. "Kommunikation kvartalsvis. Sommer 1995.
• Eglash, Ron. "Afrikanske fraktaler:Moderne computere og indfødt design." Rutgers Univ. Trykke. 1999.
• Falconer, K. J. "Geometrien af ​​fraktalsæt." Cambridge Tracts in Mathematics, 85. Cambridge, 1985.
• Fractal Foundation. "Online fraktalkursus." (17. april kl. 2011) http://fractalfoundation.org/resources/lessons/
• Mandelbrot, Benoit. "Naturens fraktalgeometri." Freeman. 1982.
• Mandelbrot, Benoit. "Fraktaler:Form, Chance, og Dimension "Freeman. 1977.
• Mandelbrot, Benoit. "Hvor lang er Englands kystlinje?:Statistisk selvlignelse og fraktionel dimension" Videnskab, Ny serie. Bind 156, nr. 3775. 5. maj kl. 1967.
• NOVA. "Jagter den skjulte dimension." PBS, 2008. Oprindeligt sendt den 28. okt. 2008. (17. april, 2011) http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/hunting-hidden-dimension.html
• Turcotte, Donald. "Fraktaler og kaos i geologi og geofysik." Cambridge, 1997.
• Weisstein, Eric W. "Dragon Curve." MathWorld. (22. april kl. 2011) http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html
• Weisstein, Eric W. "Koch Snowflake." MathWorld. (22. april kl. 2011) http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
• Weisstein, Eric W. "Menger Svamp." MathWorld. (22. april kl. 2011) http://mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html
• Weisstein, Eric W. "Sierpiński Sigt." MathWorld. (22. april kl. 2011) http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.html
• Weisstein, Eric W. "Strange Attractor." MathWorld. (22. april kl. 2011) http://mathworld.wolfram.com/StrangeAttractor.html