Sådan fungerer Tessellations

Vi studerer matematik for sin skønhed, dens elegance og dens evne til at kodificere de mønstre, der er vævet ind i universets stof. Inden for sine figurer og formler, den sekulære opfatter orden og de religiøse fanger fjerne ekkoer af skabelsens sprog. Matematik opnår det sublime; Sommetider, som med tessellationer, det stiger til kunst.

Tessellationer - hulleløse mosaikker af definerede former- tilhører en række forhold, konstanter og mønstre, der går igen i hele arkitekturen, afsløre sig selv under mikroskop og udstråler fra hver honningkage og solsikke. Vælg et vilkårligt antal ligninger i geometri, fysik, sandsynlighed og statistik, endda geomorfologi og kaosteori, og du finder pi (π) placeret som en hjørnesten. Eulers nummer (e) løfter hovedet gentagne gange i regning, beregninger af radioaktivt henfald, sammensatte renteformler og visse ulige tilfælde af sandsynlighed. Det gyldne snit (φ) dannede grundlaget for kunst, design, arkitektur og musik længe før folk opdagede det definerede også naturlige arrangementer af blade og stilke, knogler, arterier og solsikker, eller matchede hjernebølgernes urcyklus [kilder:Padovan, Weiss, Roopun]. Det har endda et forhold til en anden flerårig mønsterfavorit, Fibonacci -sekvensen, som producerer sin egen unikke fliseforløb.

Videnskab, natur og kunst bobler også over med tessellationer. Ligesom π, e og φ, eksempler på disse gentagende mønstre omgiver os hver dag, fra verdslige fortove, tapeter, puslespil og klinkegulve til den store kunst af den hollandske grafiker M.C. Escher, eller det betagende flisearbejde fra den mauriske befæstning fra 1300 -tallet, Alhambra, i Granada, Spanien. Faktisk, ordet "tessellation" stammer fra tessella , den latinske ords diminutivform tessera , et individ, typisk firkantet, flise i en mosaik. Tessera igen kan stamme fra det græske ord tessares , betyder fire.

Matematik, videnskab og natur afhænger af nyttige mønstre som disse, uanset deres betydning. Ud over den transcendente skønhed ved en mosaik eller gravering, tessellationer finder applikationer i hele matematikken, astronomi, biologi, botanik, økologi, computer grafik, materialevidenskab og en række forskellige simuleringer, herunder vejsystemer.

I denne artikel, vi viser dig, hvad disse matematiske mosaikker er, hvilken slags symmetri de kan besidde, og hvilke særlige tessellationer matematikere og videnskabsmænd opbevarer i deres værktøjskasse med problemløsende tricks.

Først, lad os se på, hvordan man bygger en tessellation.

Former sig, eller kan du venligst gentage det?

Tessellationer kører spektret fra grundlæggende til boggling. De enkleste består af en enkelt form, der dækker et todimensionalt plan uden at efterlade huller. Derfra, himlen er grænsen, fra komplekse mønstre med flere uregelmæssige former til tredimensionelle faste stoffer, der passer sammen for at fylde rummet eller endda højere dimensioner.

Tre almindelige geometriske former tessellerer med sig selv:ligesidede trekanter, firkanter og sekskanter. Andre firesidede former gør det også, herunder rektangler og rhomboider (diamanter). I forlængelse heraf, ikke-tokantede trekanter fliser problemfrit, hvis de placeres ryg mod ryg, oprette parallelogrammer. Underligt nok, sekskanter af enhver form tessellater, hvis deres modstående sider er ens. Derfor, enhver firsidet form kan danne en hullet mosaik, hvis den placeres bagud mod ryg, laver en sekskant.

Du kan også tessellere et fly ved at kombinere almindelige polygoner, eller ved at blande regelmæssige og halvregulære polygoner i særlige arrangementer. Polygoner er todimensionale former, der består af linjesegmenter, såsom trekanter og rektangler. Regelmæssige polygoner er specielle tilfælde af polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er ens. Ledsidige trekanter og firkanter er gode eksempler på regelmæssige polygoner.

Alle tessellationer, selv velformede og komplekse dem som M.C. Escher, begynde med en form, der gentages uden huller. Tricket er at ændre formen - sig, en rombe - så den stadig passer tæt sammen. En enkel tilgang indebærer at skære en form ud af den ene side og indsætte den på en anden. Dette producerer en form, der passer sammen med sig selv og stabler let. Jo flere sider du ændrer, jo mere interessant bliver mønsteret.

Hvis du føler dig mere eventyrlysten, Prøv at doodle en bølget linje på den ene side, og derefter kopiere den samme linje til den modsatte side. Denne fremgangsmåde kan kræve nogle justeringer for at få stykkerne til at hænge sammen korrekt. For eksempel, hvis din polygon har et ulige antal sider, du vil måske opdele den venstre side i to og derefter tegne spejlbilledformer på hver side af splitten. Dette skaber en side, der låser sig selv.

Prøv lykken med to eller flere former, der tessellerer. Du kan gøre dette geometrisk, eller simpelthen fylde siden med en hvilken som helst form, du kan lide, og forestil dig derefter et billede, der passer til det negative rum. En beslægtet metode indebærer at fylde en kendt tesselleringsform med mindre former. Der er endda fraktal tessellationer -mønstre af former, der passer godt sammen og er selvlignende på flere skalaer.

Bare rolig, hvis dine første resultater virker lidt useriøse. Det tog Escher år at mestre disse gale mosaikker, og selv havde han parringer, der ikke altid gav mening.

Nu hvor vi har lagt grunden, lad os tage et kig på nogle af de særlige tessellationer, som forskere bruger til at løse vanskelige teoretiske og anvendte problemer.

Intet tessellationstalent overstråler den hollandske grafiker M.C. Escher. En litograf, træskærer og graver, Escher blev interesseret i de sublime former efter at have besøgt Alhambra som ung [kilde:University of St. Andrews].

Selvom det ikke var den første, der flyttede tessellationer fra geometriske former til organiske og fantastiske, Escher etablerede sig som sin fremtrædende praktiserende læge. Hans fantasifulde, blændende og ofte umulige kunstværker er stadig meget populære i dag.

Tiling the Universe:Special Tessellations

Da forskere udforskede tessellationer og definerede dem matematisk, de identificerede visse typer, der udmærker sig ved at løse vanskelige problemer. Et populært eksempel er Voronoi tessellation ( VT ) også kendt som Dirichlet -tessellationen eller Thiessen -polygonerne.

En VT er en tessellation baseret på et sæt punkter, som stjerner på et diagram. Hvert punkt er omsluttet af en polygonal celle - en lukket form dannet af linjesegmenter - der omfatter hele området, der er tættere på dets defineringspunkt end på noget andet punkt. Cellegrænser (eller polygonsegmenter) er lige langt fra to punkter; knudepunkter, hvor tre eller flere celler mødes, er lige langt fra tre eller flere definerende punkter. VT'er kan også tessellere højere dimensioner.

Det resulterende VT-mønster ligner den slags honningkage, en bi kan bygge efter en nektarbender hele natten. Stadig, hvad disse cockeyed celler mangler i skønhed, de gør mere end op i værdi.

Ligesom andre tessellationer, VT'er dukker op gentagne gange i naturen. Det er let at se hvorfor:Ethvert fænomen, der involverer punktkilder, der vokser sammen i en konstant hastighed, som lavsporer på en sten, vil producere en VT-lignende struktur. Samlinger af tilsluttede bobler danner tredimensionelle VT'er, en lighed forskere drager fordel af, når de modellerer skum.

VT'er giver også en nyttig måde at visualisere og analysere datamønstre på. Tæt klyngede rumlige data skiller sig ud på en VT, da områder er tætte med celler. Astronomer bruger denne kvalitet til at hjælpe dem med at identificere galaksehobe.

Fordi en computerprocessor kan bygge en VT på flugt fra punktkildedata og et sæt enkle instruktioner, brug af VT'er sparer både hukommelse og processorkraft-vitale kvaliteter til at generere banebrydende computergrafik eller til at simulere komplekse systemer. Ved at reducere nødvendige beregninger, VT'er åbner døren for ellers umulig forskning, såsom proteinfoldning, cellulær modellering og vævsimulering.

En nær slægtning til VT, det Delaunay tessellation også prale af en række forskellige anvendelser. For at lave en Delaunay tessellation, begynde med en VT, og derefter tegne linjer mellem de celledefinerende prikker, således at hver ny linje skærer en delt linje af to Voronoi-polygoner. Det resulterende gitter af buttede trekanter giver en praktisk struktur til forenkling af grafik og terræn.

Matematikere og statistikere bruger Delaunay -tessellationer til at besvare ellers uberegnelige spørgsmål, såsom at løse en ligning for hvert punkt i rummet. I stedet for at forsøge denne uendelige beregning, de beregner en løsning for hver Delaunay -celle.

I hans 27. jan. 1921, adresse til det preussiske videnskabsakademi i Berlin, Einstein sagde, "Så vidt matematikkens love refererer til virkeligheden, de er ikke sikre; og så vidt de er sikre, de henviser ikke til virkeligheden. "Det er klart, tessellerede tilnærmelser mangler perfektion. Alligevel, de muliggør fremskridt ved at reducere ellers uhåndterlige problemer til en form, der kan håndteres med den aktuelle beregningskraft. Mere end det, de minder os om kosmos 'underliggende skønhed og orden.

Alle todimensionale planer med gentagne mønstre falder ind i en af ​​17 "tapetgrupper", der beskriver deres symmetri-typer (selvom ikke alle tessellationer er symmetriske) [kilde:Joyce]. De fire hovedkategorier omfatter:

1. Oversættelse :Skub flyet i en bestemt retning, og det forbliver uændret
2. Rotation :Drej flyet med en vis vinkel, og det forbliver uændret
3. Glid refleksion :Skub planet langs en vektor og reflekter det omkring den samme vektor, og den forbliver uændret
4. Spejlsymmetri (enkel refleksion) :Hold et spejl op mod en del af flyet, og det forbliver uændret (et særligt tilfælde af glidrefleksion)

Alhambra's berømte mosaikker har 13 af symmetri -grupperne. Egyptisk kunst brugte 12 [kilder:Grünbaum].

Masser mere information

relaterede artikler

• Quiz:Tessellate This!
• Kunstteknikker til børn
• Hvordan udtrykkes Fibonacci -tal i naturen?
• Hvordan M.C. Escher arbejdede
• Sådan fungerer grafikkort
• Hvad er rummets grundlæggende karakter?

Flere store links

• MathWorld's Take on Tessellations
• M.C. Eschers officielle websted
• Tessellations.org
• Tessellationsmønstre fra Alhambra

Kilder

• Conder, M.D.E., G.A. Jones, M. Streit og J. Wolfart. "Galois handlinger på regelmæssige dessiner af små slægter." 17. februar kl. 2011. (7. april, 2011) http://www.math.uni-frankfurt.de/~wolfart/Artikel/ConJoStWo.pdf
• Dereudre, D. og F. Lavancier. "Praktisk simulering og estimering for Gibbs Delaunay-Voronoi-tessellationer med geometrisk hardcore-interaktion." Fortryk indsendt til Elsevier 1. juni, 2010. (8. april, kl. 2011) http://arxiv.org/abs/1005.5620v1
• Encyclopedia Britannica. "M.C. Escher." Encyclopedia Britannica Online. (6. april kl. 2011) http://www.britannica.com/EBchecked/topic/192344/MC-Escher
• Geach, James E .. McGill University Department of Physics. Personlig korrespondance. 10. april kl. 2011.
• Geach, James E., David N. A. Murphy, og Richard G. Bower. "4098 Galaxy -klynger til z ~ 0,6 i Sloan Digital Sky Survey Equatorial Stripe 82." Månedlige meddelelser fra Royal Astronomical Society. 25. januar, 2011.
• Grünbaum, Branko. "Kejserens nye tøj:Fuld Regalia, G-streng, eller ingenting? "Matematisk intelligens. bind 6, Nr. 4. 1984.
• Jettestuen, Espen, Anders Nermoen, Geir Hestmark, Einar Timdal og Joachim Mathiesen. "Konkurrence på klipperne:Fællesskabets vækst og tessellation." PLoS ONE. Vol. 5, Nr. 30. september, 2010.
• Jones, Gareth. Matematisk Skole, University of Southampton. Personlig korrespondance. 11. april kl. 2011.
• Joyce, David E. "De 17 flysymmetri -grupper." 1997. (7. april, 2011) http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html
• Lavancier, Frédéric. Université de Nantes, Laboratorium Jean Leray. Personlig korrespondance. 11. april kl. 2011.
• Padovan, Richard. "Del." Taylor &Francis. 1999.
• Poupon, Anne. Laboratoire d'Enzymologie et Biochimie Structurales. Personlig korrespondance. 9. april kl. 2011.
• Poupon, Anne. "Voronoi og Voronoi-relaterede Tessellationer i studier af proteinstruktur og interaktion." Nuværende udtalelse i strukturbiologi. Vol. 14. Side 233. 2004.
• Redenbach, Claudia. Fachbereich Mathematik, Technische Universität Kaiserslautern. Personlig korrespondance. 11. april kl. 2011.
• Redenbach, Claudia. "På de udvidede facetter af en Poisson-Voronoi Tessellation." Billedanalyse og stereologi. Marts 2011.
• Rong, Guodong, et. al. "GPU-assisteret beregning af Centroidal Voronoi Tessellation." IEEE -transaktioner om visualisering og computergrafik. Vol. 17, Nr. 3. marts 2011.
• Roopun, Anita K., et al. "Temporale interaktioner mellem kortikale rytmer." Grænser inden for neurovidenskab. Vol. 2, Nr. 2. Side 145. 2008.
• Schattschneider, Doris. "Forvirrende Pentagoner." Opdager geometri nyhedsbrev. Vol. 7, Nr. 1. Forår 1996. (6. april, 2011) http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbperplex.htm
• Schreiber, Tomasz og Christoph Thäle. "Begrænsningssætninger for Iteration -stabile Tessellationer." Fortryk. (8. april kl. 2011) http://arxiv.org/abs/1103.3960v1
• Soares-Santos, Marcelle. Fermi National Accelerator Laboratory. Personlig korrespondance. 13. april kl. 2011.
• Soares-Santos, Marcelle, et. al. "Voronoi Tessellation Cluster Finder i 2+1 dimensioner." The Astrophysical Journal. Vol. 727, Nr. 24. 2011.
• University of St Andrews, Skolen for matematik og statistik. "Maurits Cornelius Escher." Maj 2000. (4. april, 2011) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Escher.html
• Watson, D. F. "Beregning af den n-dimensionelle Delaunay Tessellation med ansøgning til Voronoi-polytoperne." Computerjournalen. Vol. 24, ingen. 2. 1981.
• Weiss, Volkmar og Harald Weiss. "Den gyldne middelvej som hjernebølgers urcyklus." Kaos, Solitons og Fractals. Vol. 18, Nr. 4. Side 643. 2003.
• Weisstein, Eric W. "Tessellation." (5. april kl. 2011) http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html