Græshoppeproblem giver indsigt i kvanteteorien

(Phys.org) - Ligesom mange matematiske gåder, græshoppeproblemet er enkelt at angive, men svært at løse:En græshoppe lander tilfældigt på en græsplæne i område 1, hopper derefter en gang, en fast afstand, i en tilfældig retning. Hvilken form skal græsplænen have for at maksimere chancen for, at græshoppen bliver på græsplænen efter at have hoppet?

Et første indtryk kan være, at græsplænen skal have form af en cirkel, i hvert fald når afstanden græshoppen hopper er lille. Imidlertid, Olga Goulko og Adrian Kent, de to fysikere, der introducerede græshoppeproblemet i et nyt papir, har matematisk bevist, at en skiveformet græsplæne ikke er optimal til enhver afstand.

I stedet, de opdagede gennem numeriske simuleringer, at den optimale græsplæneform antager en række komplekse former til forskellige springdistancer, såsom en tandhjulsform til afstande mindre end 1/π ^1/2 (radius af en cirkel af område 1, eller ca. 0,56), mens for større afstande, den optimale græsplæne består af frakoblede stykker. Tit, men ikke altid, disse optimale former besidder en eller anden form for symmetri.

Motiveret af fysik

Bortset fra at være et interessant geometri problem, græshoppeproblemet er også tæt forbundet med forskning inden for kvantefysik og kan have en række forskellige teknologiske anvendelser. I særdeleshed, græshoppeproblemet er forbundet med Bell -ulighederne, som berømt viser, at i modsætning til klassiske fysikmodeller, kvante teori adlyder ikke lokal realisme. Et godt eksempel på krænkelse af lokal realisme ses i kvanteforvikling, hvor to fjerne sammenfiltrede systemer udviser korrelationer, der ikke kan forklares med nogen model, der adlyder lokal realisme.

Denne forbindelse til Bell -ulighederne er, faktisk, hvad der oprindeligt motiverede Goulko og Kent til at foreslå græshoppeproblemet. Et åbent problem i fysikken vedrørende Bell -ulighederne er at bestemme de optimale grænser, der overtrædes af kvanteteorien, når kvantekorrelationer måles på en kugle i vinkler mellem 0 og 90 grader. Det viser sig, at dette problem med at bestemme de optimale grænser svarer til problemet med at bestemme græsplæne -problemets græsplæneform, når græsplænen er sfærisk frem for flad jord. I den sfæriske version af græshoppeproblemet, afstanden græshoppen springer over fladt jord erstattes af den vinkel, hvormed den hopper hen over kuglen.

I deres papir, som er offentliggjort i et nyligt nummer af Proceedings of The Royal Society A , Goulko og Kent har kun analyseret den plane version af græshoppeproblemet, selvom de forventer, at det ikke burde være for svært at anvende de samme numeriske teknikker på det sfæriske tilfælde. Derefter, når der tages højde for nogle yderligere begrænsninger, det kan være muligt endelig at løse problemet med optimale grænser for Bell -ulighederne.

"Vi planlægger at arbejde videre med de sfæriske versioner af græshoppeproblemet, der er relevant for Bell -uligheder, og forventer, at vores metoder skulle fungere der, "Fortalte Kent Phys.org .

Ny grænse

Som fysikerne forklarer, en af ​​de overraskende ting ved græshoppeproblemet er, at intet som det nogensinde har været foreslået før. Selvom grundideen er ligetil nok til, at problemet kunne have været stillet af den gamle græske matematiker Euklid, der lagde grundlaget for moderne geometri, forskerne er ikke bekendt med nogen tidligere version af problemet, enten i gammel eller moderne tid.

”Det er rart at blive mindet om, at selv på et område så gammelt som geometri, man kan stadig finde enkle nye spørgsmål, der har overraskende svar og åbne op for nye forskningsområder, "Sagde Kent.

Som et helt nyt problem, der er et uendeligt antal fremtidige forskningsretninger at tage. For eksempel, fysikerne foreslår at lade græshoppen tage flere spring, eller kræver, at græshoppen går og forbliver på græsplænen på alle punkter på dens vej (en variation, som de kalder "myreproblemet"). Andre mulige variationer omfatter generalisering til højere dimensioner, analyse af andre græsplæner end kugler og fly overvejer en variation af problemet med to forskellige arter af græsplæne, der kan overlappe hinanden i den samme region (hvilket er særligt relevant for Bell -uligheder), og lægge yderligere begrænsninger på de mulige løsninger.

Selvfølgelig, sådanne spørgsmål handler egentlig ikke om græshopper og græsplæner, da den underliggende struktur giver mulighed for at modellere forskellige virkelige situationer. Et eksempel, som forskerne påpeger, er atomkædereaktioner. I en kædereaktion, en højenergipartikel påvirker en tilfældig atomkerne, får den til at gå i fission, som producerer en anden højenergipartikel, der tilbagelægger en bestemt afstand for at ramme en anden tilfældig kerne, og processen gentages. Ved at modellere denne situation med græshoppeproblemet, det optimale græsareal svarer til den maksimale indledende reaktionshastighed, som maksimerer antallet af kerner, der deltager i kædereaktionen.

En anden potentiel anvendelse af græshoppeproblemet ligger i modellering af kvantekommunikationsprotokoller, som forskerne forklarer, kan betragtes som en græshoppemodel, hvor den ene part skal vælge hvilken algoritme (græsplæneform), der skal bruges til at kommunikere med en anden part.

Og endelig, forskerne foreslår, at det kan være interessant at undersøge oprindelsen af ​​græsformerne selv, da nogle af græsplænemønstrene ligner mønstre, der gentagne gange dukker op i naturen, som i blomster, muslingeskaller, og dyrestriber. I overensstemmelse med teorien om morfogenese foreslået af Alan Turing, disse mønstre kan opstå som optimale løsninger af kemiske årsager, hvilket kan hjælpe med at forklare de forskellige og komplekse former for græsplæner, der optræder i græshoppeproblemet.

© 2017 Phys.org