Kvantemagiske firkanter

Matematikkens magi afspejles især i magiske firkanter. For nylig, kvantefysikeren Gemma De las Cuevas og matematikerne Tim Netzer og Tom Drescher introducerede forestillingen om det kvantemagiske kvadrat, og studerede for første gang i detaljer egenskaberne af denne kvanteversion af magiske firkanter.

Magiske firkanter hører til menneskehedens fantasi i lang tid. Den ældste kendte magiske plads kommer fra Kina og er over 2000 år gammel. En af de mest berømte magiske pladser kan findes i Albrecht Dürers kobberstik Melencolia I. En anden er på facaden af ​​Sagrada Família i Barcelona. Et magisk kvadrat er et kvadrat med tal, således at hver kolonne og hver række summerer til det samme tal. For eksempel, i den magiske firkant i Sagrada Família summer hver række og kolonne til 33.

Hvis den magiske firkant kan indeholde reelle tal, og hver række og kolonne summerer til 1, så kaldes det en dobbelt stokastisk matrix. Et særligt eksempel ville være en matrix, der har 0 overalt undtagen en enkelt 1 i hver kolonne og hver række. Dette kaldes en permutationsmatrix. En berømt sætning siger, at hver dobbelt stokastisk matrix kan opnås som en konveks kombination af permutationsmatricer. I ord, dette betyder, at permutationsmatricer "indeholder alle hemmelighederne" af dobbelt stokastiske matricer - mere præcist, at sidstnævnte fuldt ud kan karakteriseres i forhold til førstnævnte.

I et nyt blad i Tidsskrift for matematisk fysik , Tim Netzer og Tom Drescher fra Institut for Matematik og Gemma De las Cuevas fra Institut for Teoretisk Fysik har introduceret forestillingen om det kvantemagiske kvadrat, som er en magisk firkant, men i stedet for tal sætter man i matricer. Dette er en ikke-kommutativ, og dermed kvante, generalisering af en magisk firkant. Forfatterne viser, at kvantemagiske firkanter ikke så let kan karakteriseres som deres "klassiske" fætre. Mere præcist, kvantemagiske kvadrater er ikke konvekse kombinationer af kvantepermutationsmatricer. "De er rigere og mere komplicerede at forstå, " forklarer Tom Drescher. "Dette er det generelle tema, når generaliseringer til det ikke-kommutative tilfælde studeres."

"Værket er i skæringspunktet mellem algebraisk geometri og kvanteinformation og viser fordelene ved tværfagligt samarbejde, " skriver forfatterne.