Når buede materialer bliver flad, kan simpel geometri forudsige de rynkemønstre, der opstår

En genstand, der i sig selv er flad, f.eks. et stykke papir, kan formes til en cylinder uden at strække eller rive den i stykker. Det samme gælder dog ikke for noget, der iboende er buet som en kontaktlinse. Når de komprimeres mellem to flade overflader eller lægges på vand, vil buede genstande blive flade, men med rynker, der dannes, når de spænder.

Nu har forskning fra University of Pennsylvania, University of Illinois Chicago (UIC) og Syracuse University vist, at med en vis simpel geometri er det muligt at forudsige mønstrene af disse rynker, både hvor de vil dannes og i nogle tilfælde deres retning. Resultaterne, offentliggjort i Nature Physics , har en række implikationer, fra hvordan materialer interagerer med fugt og reflekterer sollys i naturen til den måde en fleksibel elektronisk kan bøje.

"Det smukke ved dette arbejde er, hvor enkelt det virkelig er," siger Eleni Katifori, en lektor i Penns Institut for Fysik og Astronomi. "Det, der ligger bag, er meget kompliceret, den fysik, der er oversat gennem disse regler, fandt vi, men selve reglerne er meget enkle. Det er inspirerende."

Sindenes møde

Siden hendes ph.d. arbejde, har Katifori været interesseret i mekanikken i, hvordan tynde membraner krummer. Selvom dette forblev et kuriosum, drejede hendes forskningsvej i stedet mod væskestrømsnetværk. Derefter, mens hun samarbejdede om et projekt med Penn-kollegaen Randall Kamien og derefter postdoc-stipendiat Hillel Aharoni, observerede Katifori noget, hun ikke kunne forklare på det tidspunkt. "Det vil sige, vi har bemærket, at rynkerne dannes i domæner," siger hun.

Med andre ord, når en buet overflade bliver flad, ender den med overskydende materiale og efterfølgende rynker. Disse rynker dukker op i mønstre eller sektorer. "Spørgsmålet blev, hvorfor rynkerne arrangerer sig på den måde?" siger Katifori. "Vi forstod ikke, hvor vigtige domænerne i rynken virkelig er."

På en konference i 2016 hørte matematiker Ian Tobasco, en adjunkt ved UIC, Aharoni holde en tale om emnet. "Det var første gang, jeg så dette modelsystem blive præsenteret," siger Tobasco. "Jeg syntes, det var rigtig fedt." I midten af ​​2017 offentliggjorde Katifori, Aharoni og kolleger resultater om emnet i Nature Communications , så på en workshop senere samme år mødte Tobasco Joseph Paulsen fra Syracuse, som havde præsenteret foreløbige data om de eksperimenter, hans gruppe havde udført med rynker.

I begyndelsen af ​​2018 begyndte Tobasco for alvor at arbejde på en matematisk teori for rynker, og over frokosten på en konference den sommer blev Katifori, Tobasco og Paulsen enige om, at de delte interessen for dette problem. De besluttede sig for at samarbejde med fokus på at analysere, hvor meget materialets fysiske form og krumningen, hvorfra det starter, kan have betydning for rynkemønstrene.

Løser problemet

For nogle baggrunde kan krumning være positiv, som afrundingen af ​​en baseball eller en globus, eller negativ, som en hests sadel eller stedet på en glasflaske, hvor halsen møder basen. Der er også fladt materiale, som et stykke papir.

I dette arbejde fokuserede forskerne på positivt og negativt buede skaller.

Fra hver fjernede de derefter grundlæggende former, som trekanter, firkanter og ovaler. "Tænk på en kageudstikker. Lad os sige, at jeg tager et objekt med en positiv eller negativ krumning, så skærer jeg en af ​​disse former ud og lægger den på væske," siger Katifori. Ville det være muligt at gætte rynkemønstrene og beregne, hvilken retning rynkerne ville flyde? For hver form ville Tobasco løse teorien baseret på de grundlæggende principper, han havde udarbejdet og offentliggjort på, og derefter komme med forudsigelser.

Baseret på disse resultater udførte Katifori og Penn postdoc-forsker Desislava Todorova derefter simuleringer, hvor de indsatte individuelle former og parametre i et computerprogram. Lignende arbejde foregik i laboratoriet drevet af Paulsen, en assisterende professor i fysik ved Syracuse, gennem eksperimenter, han kørte på polystyrenfilm 1.000 gange tyndere end et stykke papir. "Den er lavet af det samme materiale som at pakke jordnødder," siger Tobasco, "men i stedet for den tredimensionelle form af en pakkejordnød, så forestil dig, at den er flad som et ark."

Gennem simuleringer, eksperimenter og meget frem og tilbage for at forfine processen og udvide den oprindelige teori, begyndte trioen at opdage, at ved at anvende ligetil geometriske principper kunne de på forhånd vide, hvilket mønster rynkerne ville tage og for en delmængde - hvad de beskriver som "ordnede" rynker - hvilken retning de ville løbe.

De geometriske principper

For at forklare et sådant princip bruger Katifori en femsidet polygon. "Først indskriver jeg en cirkel i polygonen," siger hun. "Punkterne, hvor den cirkel rører ved polygonens kanter, bestemmer, hvor jeg tegner mine linjer." Hun holder pause for at skabe en anden form inde i den første, denne med fire ujævne sider; hun starter hver linje, hvor cirklen og den ydre polygon mødes, og forbinder alle fire indre linjer. "Nu har jeg et, to, tre, fire, fem domæner," fortsætter hun og peger på kvintetten af ​​nyligt afspærrede sektioner.

For simple former som denne vil de ydre sektioner indeholde ordnede rynker, som er organiserede og velordnede, efter retningen af ​​de indre linjer, Katifori tegnede. Inden for den nye indre polygon dannes der stadig rynker, men de forbliver uordnede og uforudsigelige.

Tobasco peger på et andet eksempel, et, han fastslog, var universelt sandt for former skåret fra negativt buede skaller. "I sidste ende er det meget ligetil at forudsige rynkemønstrene. Alt du skal gøre er at tegne linjestykker, der møder grænsen i en ret vinkel." Med andre ord, start ved et punkt i formen og skab en direkte linje til formens kant, men kun på et sted, hvor der så dannes en ret vinkel.

Det tog et år for holdet at forstå. "Ligningerne, der bestemmer layoutet af rynker, er forfærdelige at løse, og mange af de mønstre, vi observerede i vores eksperimenter og simuleringer, er ret komplicerede," siger Paulsen. "Men det viser sig, at du under et bestemt sæt forhold kan forudsige rynkelayoutet med et simpelt sæt regler. Det betyder, at vi nu har en hurtig og effektiv måde at designe rynkemønstre på."

"Dens enkelhed er smuk, og den er også nyttig," tilføjer han, især for rynkede overflader, der tjener en funktion som at tillade vedhæftning eller væskeflow.

Katifori nævner lignende eksempler. "Lad os sige, at der er fugt eller fugt i luften. Vand vil opføre sig anderledes i dalene og bakkerne på en rillet overflade," siger hun. "Ved at kontrollere rynkemønsteret kan du måske påvirke, hvordan vandet vil kondensere."

Hvad kommer dernæst

Forskerne har stadig mere at forstå om disse komplekse teksturerede overflader, som hvordan man trækker mønstre fra uordnede rynker, hvorfor ordnede og uordnede domæner kan eksistere side om side, og hvorfor der er en "gensidighed", der forbinder negativt og positivt buede skaller, hvilket betyder engang mønsteret for én. er bestemt, er det ligetil at forudsige mønsteret for den anden.

For nu siger de dog, at de er begejstrede for potentialet for det, de har lært indtil nu.

"Du har en kompliceret teori, der i sidste ende bunder i relativt simpel matematik, som næsten alle kan gøre med et kompas og en lineal," siger Katifori. "Det er en elegant og smuk løsning på et komplekst problem." + Udforsk yderligere

Brug af matematiske beviser, eksperimenter og simuleringer til at vise, hvordan et materiale rynker, når det bliver fladt