Forskelle mellem rationelle og irrationelle tal

Når du hører ordene "rationel" og "irrationel", kan de måske bringe tankerne hen på den ubønhørligt analytiske Spock i "Star Trek". Men hvis du er matematiker, tænker du sandsynligvis på forhold mellem heltal og kvadratrødder.

I matematikkens område, hvor ord nogle gange har specifikke betydninger, der er meget forskellige fra daglig brug, er forskellen mellem rationelle og irrationelle tal har ikke noget med følelser at gøre. Da der er uendelige irrationelle tal, gør du klogt i at få en grundlæggende forståelse af dem.

1. Egenskaber for irrationelle tal
2. Irrationelle tal:Eksempler og undtagelser
3. Hvorfor bruger vi ordene 'Rationel' og 'Irrationel'?
4. Irrationelle tals rolle i det moderne samfund

Egenskaber for irrationelle tal

"Når du husker forskellen mellem rationelle og irrationelle tal, så tænk et ord:forhold," forklarer Eric D. Kolaczyk. Han er professor i afdelingen for matematik og statistik ved Boston University og direktør for universitetets Rafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science &Engineering.

"Hvis du kan skrive et tal som et forhold mellem to heltal (f.eks. 1 over 10, -5 over 23, 1.543 over 10 osv.), så sætter vi det i kategorien rationelle tal," siger Kolaczyk i en e-mail. "Ellers siger vi, at det er irrationelt."

Du kan udtrykke enten et helt tal eller en brøk - dele af hele tal - som et forhold ved at bruge et heltal kaldet en tæller oven på et andet heltal kaldet en nævner. Man deler nævneren ind i tælleren. Det kan give dig et tal som 1/4 eller 500/10 (også kendt som 50).

Irrationelle tal:Eksempler og undtagelser

Irrationelle tal er i modsætning til rationelle tal ret komplicerede. Som Wolfram MathWorld forklarer, kan de ikke udtrykkes med brøker, og når du forsøger at skrive dem som et tal med en decimal, bliver cifrene bare ved og ved, uden nogensinde at stoppe eller gentage et mønster.

Så hvilken slags tal opfører sig på sådan en skør måde? Dybest set dem, der beskriver komplicerede ting.

Pi

Det måske mest berømte irrationelle tal er pi - nogle gange skrevet som π, det græske bogstav for "p" - som udtrykker forholdet mellem omkredsen af ​​en cirkel og diameteren af ​​den cirkel. Som matematikeren Steven Bogart forklarede i denne Scientific American-artikel fra 1999, vil dette forhold altid være lig med pi, uanset størrelsen af ​​cirklen.

Siden babylonske matematikere forsøgte at beregne pi for næsten 4.000 år siden, er successive generationer af matematikere blevet ved med at stikke af og komme op med længere og længere strenge af decimaludvidelsen med ikke-gentagende mønstre.

I 2019 lykkedes det Google-forsker Emma Hakura Iwao at udvide pi til 31.415.926.535.897 cifre.

Nogle (men ikke alle) kvadratrødder

Nogle gange er en kvadratrod - det vil sige en faktor af et tal, der, når den ganges med sig selv, producerer det tal, du startede med - et irrationelt tal, medmindre det er et perfekt kvadrat, der er et helt tal, såsom 4, kvadratet rod af 16.

Et af de mest iøjnefaldende eksempler er kvadratroden af ​​2, som svarer til 1,414 plus en endeløs række af ikke-gentagende cifre. Denne værdi svarer til længden af ​​diagonalen i en firkant, som først beskrevet af de gamle grækere i Pythagoras sætning.

Hvorfor bruger vi ordene 'rationel' og 'irrationel'?

"Vi bruger faktisk typisk 'rationel' til at betyde noget mere som baseret på fornuft eller lignende," siger Kolaczyk. "Dets brug i matematik ser ud til at være dukket op så tidligt som i 1200-tallet i britiske kilder (ifølge Oxford English Dictionary). Hvis du sporer både 'rationel' og 'ratio' tilbage til deres latinske rødder, opdager du, at i begge tilfælde root handler om 'ræsonnement' i store træk."

Hvad der er tydeligere er, at både irrationelle og rationelle tal har spillet en vigtig rolle i civilisationens fremmarch.

Mens sproget formentlig går tilbage til den menneskelige arts oprindelse, kom tallene meget senere, forklarer Mark Zegarelli, en matematiklærer og forfatter, der har skrevet 10 bøger i serien "For Dummies". Jæger-samlere, siger han, havde sandsynligvis ikke brug for meget numerisk præcision, udover evnen til at estimere og sammenligne mængder groft.

"De havde brug for begreber som 'Vi har ikke flere æbler'," siger Zegarelli. "De behøvede ikke at vide, 'Vi har præcis 152 æbler'."

Men efterhånden som mennesker begyndte at udskille jordlodder for at skabe gårde, opføre byer og fremstille og handle varer, mens de rejste længere væk fra deres hjem, havde de brug for en mere kompleks matematik.

"Antag, at du bygger et hus med et tag, hvor stigningen er den samme længde som løbet fra basen på dets højeste punkt," siger Kolaczyk. "Hvor lang er strækningen af ​​selve tagfladen fra top til yderkant? Altid en faktor af kvadratroden af ​​2 af stigningen (løb). Og det er også et irrationelt tal."

Irrationelle tals rolle i det moderne samfund

I det teknologisk avancerede 21. århundrede fortsætter irrationelle tal med at spille en afgørende rolle, ifølge Carrie Manore. Hun er videnskabsmand og matematiker i Information Systems and Modeling Group ved Los Alamos National Laboratory.

"Pi er et indlysende første irrationelle tal at tale om," siger Manore via e-mail. "Vi har brug for det til at bestemme areal og omkreds af cirkler. Det er afgørende for beregningsvinkler, og vinkler er afgørende for navigation, bygning, opmåling, teknik og mere. Radiofrekvenskommunikation er afhængig af sinus og cosinus, som involverer pi."

Derudover spiller irrationelle tal en nøglerolle i den komplekse matematik, der muliggør højfrekvent aktiehandel, modellering, prognoser og mest statistiske analyser – alt sammen aktiviteter, der får vores samfund til at brumme.

"Faktisk," tilføjer Manore, "i vores moderne verden giver det næsten mening i stedet at spørge:'Hvor er irrationelle tal ikke bliver brugt?'"

Denne artikel blev opdateret i forbindelse med AI-teknologi, og derefter faktatjekket og redigeret af en HowStuffWorks-redaktør.

Beregningsmæssigt "bruger vi næsten altid tilnærmelser af disse irrationelle tal til at løse problemer," forklarer Manore. "Disse tilnærmelser er rationelle, da computere kun kan beregne med en vis præcision. Selvom begrebet irrationelle tal er allestedsnærværende i videnskab og teknik, kan man argumentere for, at vi faktisk aldrig rent faktisk bruger et sandt irrationelt tal i praksis."

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er irrationelle tal?

Hvad er eksempler på berømte irrationelle tal?

Hvad er Eulers tal, og er det et irrationelt tal?

Hvordan passer det gyldne snit ind i begrebet irrationelle tal?

Hvad var det første opfundne irrationelle tal?