Hvad er et primtal?

Hvis du kun vagt husker din folkeskoles matematiktime, kan du måske ikke huske, hvad et primtal er. Det er ærgerligt, for hvis du forsøger at beskytte dine e-mails mod hackere eller surfer fortroligt på nettet på et virtuelt privat netværk (VPN), bruger du primtal uden selv at være klar over det.

Primtal er en afgørende del af RSA-kryptering, som bruger primtal som nøgler til at låse op for de beskeder, der er gemt i digitalt volapyk. Primtal har andre anvendelser i livet, så det er godt at forstå dem. Nu til dit oprindelige spørgsmål - er 1 et primtal og hvorfor betyder primtal noget?

1. Hvad er et primtal? Og hvordan passer 1 ind?
2. Blev 1 nogensinde betragtet som et primtal?
3. Hvorfor er 2 det eneste lige primtal?
4. Hvad er forskellen mellem primtal og sammensatte tal?
5. Hvad er Eratosthenes sigte?
6. Listen over primtal mellem 1 og 100
7. Hvorfor primtal betyder noget

Hvad er et primtal? Og hvordan passer 1 ind?

Så hvad er primtal overhovedet? Og hvordan blev primtal så vigtige i den moderne verden? Som Wolfram MathWorld forklarer, er et primtal - også kendt som et primtal - et positivt tal større end 1, der kun kan divideres med en og sig selv. Det skal være deleligt med to tal. Med den definition af primtal i tankerne er tallet 1 ikke et primtal.

En god måde at huske det på er at vide, at et primtal ikke kan divideres med andre positive naturlige tal uden at efterlade enten en rest, decimal eller brøk. Tag eksemplet med primtal 13. Det har kun to divisorer:1 og 13. 13 ÷ 6 =2 med en rest på 1. Dividering af et primtal med et hvilket som helst andet naturligt tal resulterer i resterende tal.

Blev 1 nogensinde betragtet som et primtal?

Gennem historien har matematikere kæmpet med konceptet om, hvad der virkelig definerer et primtal. Centralt i denne debat var status for tallet 1. I det 19. århundrede var der en debat om, hvorvidt 1 er et primtal eller ej.

Folk troede engang, at 1 var prime. Grundlaget for denne tro hvilede på ideen om, at et primtal er defineret ved kun at have to positive heltalsdelere:en og sig selv. Derfor var det eneste heltal, der udgjorde en udfordring i kategoriseringen, 1, fordi det ifølge denne grundlæggende definition opfyldte kriterierne.

Men efterhånden som matematikken udviklede sig, skete der et skift i dette perspektiv. For at gøre talteorier og deres resulterende sætninger mere konsistente og sammenhængende, reviderede matematikere kriterierne for, at et tal kunne identificeres som primtal. Begrebet primtal havde brug for en skelnen mellem primtal og sammensatte tal.

Ved definitionen af, at et primtal har præcis to distinkte positive divisorer, passede tallet 1 ikke, da det kun har én distinkt positiv divisor:1. Derfor ændrede kategoriseringen sig, idet man ikke længere tager 1 primtal i betragtning.

Dette skift sikrede, at hvert positivt heltal større end 1 klassificeres som enten primtal eller sammensat. Det hjalp med at give klarhed i matematiske teorier og teoremer, hvilket eliminerede potentielle tvetydigheder. Mens debatten stort set er blevet afgjort med konsensus om, at 1 ikke er et primtal, understreger den historiske debat de matematiske definitioners udviklende karakter og den konstante søgen efter præcision i disciplinen.

Hvorfor er 2 det eneste lige primtal?

"Det eneste lige primtal er 2," siger Debi Mink, en pensioneret lektor i uddannelse ved Indiana University Southeast, hvis ekspertise omfatter undervisning i elementær matematik. "Alle de andre primtal er ulige tal." Dette skyldes, at de har mere end to faktorer. Så lad os tage et kig på det.

Alle lige tal er sammensatte tal. 2 er det eneste lige primtal, fordi det ikke har mere end to faktorer - dets eneste faktorer er 1 og selve tallet 2. For at et tal skal klassificeres som et primtal, skal det have præcis to faktorer. Da 2 har præcis to faktorer, 1 og selve tallet, 2, er det et primtal.

Tal som 2, 3, 5, 7, 11, 13 og 17 betragtes alle som primtal, fordi de har præcis to faktorer, 1 og selve tallet. Tal som 4, 6, 8, 9, 10 og 12 er ikke primtal, fordi de har mere end to faktorer.

Hvad er forskellen mellem primtal og sammensatte tal?

Sammensatte tal er det modsatte af primtal. De kan divideres med andre tal udover 1 og sig selv.

Mark Zegarelli, forfatter til adskillige bøger om matematik i den populære "For Dummies"-serie, som også underviser i testforberedende kurser, tilbyder en illustration, der involverer mønter, som han bruger sammen med nogle af sine elever for at forklare forskellen mellem primtal og sammensatte tal.

"Tænk på tallet 6," siger Zegarelli og citerer et sammensat tal. "Forestil dig, at du har seks mønter. Du kan forme dem til et rektangel med to rækker af tre mønter. Det kan du også gøre med otte ved at sætte fire mønter i to rækker. Med tallet 12 kan du gøre det til mere end én type rektangel – du kan have to rækker med seks mønter eller tre gange fire."

"Men hvis du tager tallet 5, uanset hvordan du prøver, kan du ikke sætte det ind i et rektangel," bemærker Zegarelli. "Det bedste du kan gøre det, er at sætte det i en linje, en enkelt række med fem mønter. Så du kan kalde 5 for et ikke-rektangulært tal. Men den nemmere måde at sige det på er at kalde det et primtal."

Der er masser af andre primtal - 2, 3, 7 og 11 er også på listen, og det fortsætter med at rulle derfra. Den græske matematiker Euclid, tilbage i omkring 300 f.v.t., udtænkte et bevis på uendeligheden af ​​primtal, som kan have været det første matematiske bevis, der viser, at der er et uendeligt antal primtal. (I det antikke Grækenland, hvor det moderne begreb om uendelighed ikke var helt forstået, beskrev Euklid mængden af ​​primtal simpelthen som "mere end nogen tildelt mangfoldighed af primtal."

En anden måde at forstå primtal og sammensætninger på er at tænke på dem som et produkt af faktorer, siger Zegarelli. "2 gange 3 er lig med 6, så 2 og 3 er faktorer af 6. Så der er to måder at lave seks på - 1 gange 6 og 2 gange 3. Jeg kan godt lide at tænke på dem som faktorpar. Så med en sammensat tal, har du flere faktorpar, mens du med et primtal kun har ét faktorpar, en gange selve tallet."

At bevise, at listen over primtal er uendelig, er ikke så svært, siger Zegarelli. "Forestil dig, at der er et sidste, største primtal. Vi kommer til at kalde det P. Så så tager jeg alle primtallene op til P og ganger dem alle sammen. Hvis jeg gør det og lægger et til produktet , det tal skal være et primtal."

Hvis et tal er et sammensat tal, er det derimod altid deleligt med en vis mængde af lavere primtal. "En komposit kan også være delelig med andre kompositter, men i sidste ende kan du dekomponere den ned til et sæt primtal." (Et eksempel:tallet 48 har præcis to faktorer, 6 og 8, men du kan opdele det yderligere i mere end kun to faktorer:2 gange 3 gange 2 gange 2 gange 2.)

Hvad er Eratosthenes sigte?

The Sieve of Eratosthenes er en metode, introduceret af den græske matematiker Eratosthenes i det tredje århundrede f.v.t., brugt til at finde primtal og sammensatte tal blandt en gruppe af tal.

The Sieve of Eratosthenes er baseret på ideen om, at multipla af et primtal ikke er primtal i sig selv. Så når man søger efter primtal, kan alle multipla af hvert primtal overstreges. Dette eliminerer mange numre, der ellers ville være blevet prøvet uden grund, så Sieve of Eratosthenes kan spare en masse tid.

Listen over primtal mellem 1 og 100

Der er kun 25 primtal mellem tallene 1 og 100:

• Primtal mellem 1 og 10:2, 3, 5, 7
• Primtal mellem 11 og 20:11, 13, 17, 19
• Primtal mellem 21 og 30:23, 29
• Primtal mellem 31 og 40:31, 37
• Primtal mellem 41 og 50:41, 43, 47
• Primtal mellem 51 og 100:53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Hvorfor primtal betyder noget

Så hvorfor har primtal holdt sådan en fascination blandt matematikere i tusinder af år? Som Zegarelli forklarer, er meget højere matematik baseret på primtal. Men der er også kryptografi, hvor primtal har en afgørende betydning, fordi virkelig store tal har en særlig værdifuld egenskab. Der er ingen hurtig, nem måde at se, om de er primtal eller sammensatte tal, siger han.

Vanskeligheden ved at skelne mellem enorme primtal og enorme sammensatte tal gør det muligt for en kryptograf at komme op med enorme sammensatte tal, der er faktorer af to virkelig store primtal, sammensat af hundredvis af cifre.

"Forestil dig, at låsen på din dør er et 400-cifret nummer," siger Zegarelli. "Nøglen er et af de 200-cifrede numre, der blev brugt til at oprette det 400-cifrede nummer. Hvis jeg har en af ​​disse faktorer i lommen, har jeg nøglen til huset. Men hvis du ikke Hvis man ikke har disse faktorer, er det temmelig svært at komme ind."

Det er derfor, matematikere er blevet ved med at arbejde for at finde frem til stadigt større primtal i et igangværende projekt kaldet Great Internet Mersenne Prime Search. I 2018 førte det projekt til opdagelsen af ​​et primtal, der bestod af 23.249.425 cifre, nok til at fylde 9.000 bogsider. Det tog 14 års beregninger at komme frem til det gigantiske primtal.

Du kan forestille dig, hvor imponeret Euklid kunne have været af det.

Denne artikel blev opdateret i forbindelse med AI-teknologi, og derefter faktatjekket og redigeret af en HowStuffWorks-redaktør.

Nu er det fedt

Selvom mange har troet, at primtal er tilfældige, beskrev to matematikere fra Stanford University i 2016 et hidtil ukendt tilsyneladende mønster, hvor primtal havde en tendens til at blive efterfulgt af andre primtal, der sluttede på bestemte cifre, som denne Wired-artikel beskriver. Blandt de første milliard primtal er der f.eks. omkring 65 procent større sandsynlighed for, at et primtal, der ender på 9, bliver efterfulgt af et primtal, der ender på et, end det skal efterfølges af et primtal, der ender på ni.

Ofte besvarede spørgsmål

Hvad er et primtal i matematik?

Et primtal er et positivt heltal, der kun har to positive heltalsfaktorer:1 og sig selv.

Hvorfor er 9 ikke et primtal?

9 er ikke et primtal, fordi det er deleligt med 3.