Bayes Teorem hjælper os med at finde ud af sandsynligheder

Thomas Bayes var en matematiker, en presbyteriansk minister og forsvarer af Sir Isaac Newton. I dag fejres han af statistikere over hele verden på grund af et dokument udgivet to år efter hans død.

Bayes døde den 7. april 1761. Som fastsat i englænderens testamente fik en ven og kollega ved navn Richard Price sine upublicerede noter. Disse omfattede et delvist essay om et emne, der altid tynger vores sind:sandsynlighed.

Imponeret og fascineret fik Price udgivet en redigeret version i 1763 under titlen "An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrin of Chances."

Her blev grundlaget lagt for det, vi nu kalder Bayes' sætning (eller "Bayes' regel"), et af de mest slidte værktøjer i moderne statistik.

1. Odds and Ends
2. Sandt eller falsk?
3. "Paging Doctor Bayes!"
4. Uden for laboratoriet

Odds og ender

"Bayes' regel bruges i dag på utallige måder. Det giver dig et værktøj til at tænke klart om usikkerhed (hvilket årtiers kognitiv videnskabelig forskning har vist, at vi ikke er særlig gode til)," siger Chris Wiggins, lektor ved Columbia University i anvendt matematik, i et e-mailinterview.

Den faktiske ligning vises ovenfor. I en nøddeskal er formålet med denne formel at bestemme, hvad sandsynligheden for "A" er givet for, at "B" allerede er sket eller er blevet observeret.

For at gøre dette skal vi tage følgende trin:

1. Vend scriptet:Angiv sandsynligheden for "B" givet, at "A" allerede er sket/blev observeret.
2. Multipér det med den overordnede sandsynlighed for "A."
3. Divider det resulterende tal med den samlede sandsynlighed for "B."

Betinget sandsynlighed ligger i hjertet af Bayes' sætning. Verden er et indviklet sted. Når vi forsøger at bestemme chancerne for, at en bestemt ting vil ske, er vi nogle gange nødt til at revidere vores beregninger på grund af ny information, ny udvikling og allerede eksisterende data.

Indtast sætningen. Uanset om du er en astrofysiker, der studerer universets alder, eller en dyrelivsbiolog, der kommer med befolkningsestimater for en sjældent set art, kan Bayes' teorem hjælpe dig med at opdatere dit syn og verdensbillede langs disse betingede linjer.

Nu hvor vi kender noget af det grundlæggende, lad os tage hr. Bayes' formel ud på en tur.

Sandt eller falsk?

Læger ved, at de skal passe på falske positiver.

Hvis en test fortæller dig, at noget er til stede, når det faktisk er fraværende, er det en falsk positiv, amigo. Hyrdedrengen råbte ulv, men han så ikke rigtig en.

Sandt positive ting er testresultater, der stemmer overens med virkeligheden. De er, hvad du får, når en test afslører en tilstand, der virkelig eksisterer. Så i dette scenarie er ulven ægte, og hyrdedrengen fortalte sandheden.

"Bayes' teorem kan give indsigt i udførelsen af ​​diagnostiske tests," forklarer biostatistiker Lance Waller fra Emory University i en nylig e-mailudveksling.

"Når vi går på klinikken og bliver testet, vil vi gerne vide sandsynligheden for, at jeg er syg givet testen er positiv. "

"Paging Doctor Bayes!"

For at forklare, hvordan Thomas Bayes passer ind i samtalen om falske positiver i medicinske tests, har Waller en nyttig hypotetisk. Tag endnu et kig på vores trykte formel. Ser du As og B'erne? Nu er det tid til at erstatte de bogstaver med noget mindre abstrakt.

"Antag, at vi anvender en test, der har en chance på 1 ud af 100 for at give et falsk positivt resultat til en rask person, og den samme test har en chance på 99 ud af 100 for at give et sandt positivt resultat til en syg person," siger Waller.

"Hvis vi anvender denne test på 100 raske og 100 syge mennesker, ville vi forvente 1 falsk positiv og 99 sand positiv. Hvis vi gav den samme test til 100.000 raske og 100 syge mennesker, ville vi forvente 1.000 falske positive og 99 sande. positive. De fleste af vores positive testresultater ville være falske."

"Bayes' teorem," fortæller Waller, "definerer, hvordan andelen af ​​testede mennesker, som er syge og raske, ændrer sandsynligheden for en positiv test givet en sund person til sandsynligheden for en sund person givet en positiv test ."

Uden for laboratoriet

Sætningen gav anledning til Bayesiansk statistik, en bredere tilgang til matematik og sandsynlighed.

Denne tankegang har haft sin andel af kritikere gennem årene. Alligevel har historien vist, at der er plads til Bayesiansk tankegang. Som Wiggins påpeger, bruger matematikere nu forskellige computerværktøjer - og leder efter forskellige slags data - end tidligere generationer gjorde.

"Nogle gange bruger vi data til videnskabeligt at beskrive verden, som den er; andre gange til at forudsige et bestemt resultat; og andre gange til at ordinere den behandling, der vil optimere et resultat," siger Wiggins. "Det er derfor ingen overraskelse, at normerne for, hvad der udgør en god model eller en god modelleringspraksis, også har udviklet sig."

I vores computerdrevne kultur er Bayesianske metoder overalt omkring os. Overvej elektronisk post. Nogle e-mail-filtre bruger Bayes' Teorem til at beregne oddsene for, at en individuel besked er uønsket spam givet dens ordvalg.

Eller se på, hvordan den amerikanske kystvagt lavede bølger i 2014, da et af dets computerprogrammer førte til redningen af ​​en fisker, der var forsvundet. Som du måske har gættet, fik det program arbejdet gjort med Bayes' teorem.

"At lave 'en Bayesiansk analyse' betyder ikke altid en bedre analyse," bemærker Waller. "[Men] eftersom Bayesianske metoder kræver detaljerede matematiske definitioner, giver en Bayesiansk analyse ofte fleksibiliteten til at tilpasse sig en bredere række af applikationer end traditionelle tilgange."

HowStuffWorks kan tjene en lille kommission fra tilknyttede links i denne artikel.

Ligesom Thomas Bayes var Richard Price en praktiserende minister, og en dertil godt forbundet. Han mødtes personligt med folk som Benjamin Franklin, Thomas Jefferson, John Adams og Thomas Paine. Mary Wollstonecraft - en banebrydende feminist og mor til "Frankenstein"-skaberen Mary Wollstonecraft Shelley - var også en af ​​hans mentees.

Ofte besvarede spørgsmål

Hvad bruges Bayes formel til?