Hvad er imaginære tal?

For dem af os, der ikke er matematisk tilbøjelige, er begrebet imaginære tal er lidt gådefuldt. Hvad i alverden betyder det overhovedet? Er det opdigtede tal? Er de usynlige som indbildte venner? Send matematikhjælp!

1. Hvad er et imaginært tal?
2. Beregning med komplekse og imaginære tal
3. Imaginære tal er punkter på et fly

Hvad er et imaginært tal?

Et imaginært tal - dybest set et tal, der, når det kvadreres, resulterer i et negativt tal - blev først etableret tilbage i 1400- og 1500-tallet som en måde at løse visse forvirrende ligninger på.

Selvom det oprindeligt blev opfattet som et slags salontrick, er imaginære tal i århundrederne siden blevet betragtet som et værktøj til at konceptualisere verden på komplekse måder og er i dag nyttige inden for områder lige fra elektroteknik til kvantemekanik.

"Vi opfandt imaginære tal af nogle af de samme grunde, som vi opfandt negative tal," forklarer Cristopher Moore. Han er fysiker ved Santa Fe Institute, en uafhængig forskningsinstitution i New Mexico, og medforfatter sammen med Stephan Mertens til bogen "The Nature of Computation" fra 2011.

"Start med almindelig aritmetik," fortsætter Moore. "Hvad er to minus syv? Hvis du aldrig har hørt om negative tal, giver det ikke mening. Der er intet svar. Du kan ikke have negative fem æbler, vel? Men tænk på det på denne måde. Du kunne skylde mig fem æbler eller fem dollars Da folk begyndte at lave regnskab og bogføring, havde vi brug for det koncept."

På samme måde kender vi i dag alle sammen tanken om, at hvis vi skriver store checks for at betale for ting, men ikke har penge nok til at dække dem, kan vi have en negativ saldo på vores bankkonti.

Beregning med komplekse og imaginære tal

En anden måde at se på negative tal - og det vil komme til nytte senere - er at tænke på at gå rundt i et bykvarter, siger Moore.

Hvis du laver et forkert sving og i den modsatte retning fra vores destination - for eksempel fem blokke sydpå, når du skulle være gået nordpå - kunne du tænke på det som at gå fem negative blokke mod nord.

"Ved at opfinde negative tal udvider det dit matematiske univers og gør dig i stand til at tale om ting, der var svære før," siger Moore.

Imaginære tal og komplekse tal - det vil sige tal, der inkluderer en imaginær komponent - er et andet eksempel på denne form for kreativ tænkning. Som Moore forklarer det:"Hvis jeg spørger dig, hvad er kvadratroden af ​​ni, så er det nemt, ikke? Svaret er tre - selvom det også kunne være negativt tre," eftersom multiplikation af to negative resulterer i en positiv.

Men hvad er kvadratroden af ​​negativ? Er der et tal, når det ganges med sig selv, der giver dig et negativt? "På et niveau er der ikke et sådant tal," siger Moore.

Men renæssancens matematikere fandt på en smart måde at løse det problem på. "Før vi opfandt negative tal, var der ikke et sådant tal, der var to minus syv," fortsætter Moore. "Så måske skulle vi opfinde et tal, der er kvadratroden af ​​negativt. Lad os give det et navn. i ."

Da de kom op med konceptet om et imaginært tal, opdagede matematikere, at de kunne lave nogle virkelig fede ting med det. Husk, at multiplikation af et positivt tal med et negativt tal er lig med et negativt tal, men at gange to negative tal med hinanden er lig med et positivt tal.

Men hvad sker der, når du begynder at gange i gange syv, og derefter gange i en gang til? Fordi i gange i er negativ 1, er svaret negativt syv. Men hvis du ganger syv gange i gange i gange i gange i , pludselig får du positive syv. "De annullerer hinanden," bemærker Moore.

Tænk nu over det. Du tog et imaginært tal, tilsluttede det til en ligning flere gange og endte med et faktisk tal, som du almindeligvis bruger i den virkelige verden.

Imaginære tal er punkter på et plan

Det var først et par hundrede år senere, i begyndelsen af ​​1800-tallet, at matematikere opdagede en anden måde at forstå imaginære tal på:at tænke på dem som punkter på et fly, forklarer Mark Levi. Han er professor og leder af matematikafdelingen ved Penn State University og forfatter til bogen "Why Cats Land on Their Feet:And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles" fra 2012.

Når vi tænker på tal som punkter på en linje og derefter tilføjer en anden dimension, "er punkterne på det plan de imaginære tal," siger han.

Forestil dig en tallinje. Når du tænker på et negativt tal, er det 180 grader væk fra de positive tal på linjen. "Når du multiplicerer to negative tal, adderer du deres vinkler, 180 grader plus 180 grader, og du får 360 grader. Det er derfor, det er positivt," forklarer Levi.

Men du kan ikke sætte kvadratroden af ​​negativ nogen steder på X-aksen. Det virker bare ikke. Men hvis du opretter en Y-akse, der er vinkelret på X'et, har du nu et sted at placere den.

Og selvom imaginære tal bare virker som en flok matematisk razzle-dazzle, er de faktisk meget nyttige til visse vigtige beregninger i den moderne teknologiske verden, såsom at beregne luftstrømmen over en flyvinge eller finde ud af drænet i energi fra modstand kombineret med oscillation i et elektrisk system.

Komplekse tal med imaginære komponenter er også nyttige i teoretisk fysik, forklarer Rolando Somma, en fysiker, der arbejder med kvanteberegningsalgoritmer ved Los Alamos National Laboratory.

"På grund af deres relation til trigonometriske funktioner er de nyttige til at beskrive for eksempel periodiske funktioner," siger Somma via e-mail. "Disse opstår som løsninger på bølgeligningerne, så vi bruger komplekse tal til at beskrive forskellige bølger, såsom en elektromagnetisk bølge. Således er kompleks regning i fysik, ligesom i matematik, et yderst nyttigt værktøj til at forenkle beregninger."

Komplekse tal spiller også en rolle i kvantemekanikken, en teori, der beskriver naturens adfærd på skalaen af ​​atomer og subatomære partikler.

"I kvantemekanikken optræder jeg eksplicit i Schrödingers ligning," forklarer Somma. "Således ser komplekse tal ud til at have en mere fundamental rolle i kvantemekanikken i stedet for blot at tjene som et nyttigt beregningsværktøj."

"Tilstanden af ​​et kvantesystem beskrives ved dets bølgefunktion," fortsætter han. "Som en løsning på Schrodingers ligning er denne bølgefunktion en superposition af visse tilstande, og de tal, der optræder i superpositionen, er komplekse. Interferensfænomener i kvantefysik kan for eksempel nemt beskrives ved hjælp af komplekse tal."

Nu er det interessant

Imaginære tal er også nævnt i Dan Browns bestseller fra 2003 "The Da Vinci Code" og Thomas Pynchons roman "Imod dagen" fra 2012.

Denne artikel blev opdateret i forbindelse med AI-teknologi, og derefter faktatjekket og redigeret af en HowStuffWorks-redaktør.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er imaginære tal?

Imaginære tal er tal, der, når de kvadreres, resulterer i et negativt tal. Konceptet blev først skabt i 1400- og 1500-tallet for at løse komplekse ligninger.

Hvad er et komplekst tal?

Et komplekst tal er et tal, der omfatter både en reel del og en imaginær del. Det er repræsenteret som en kombination af et reelt tal og et imaginært tal (bi).

Kan du forklare det komplekse plan?

Det komplekse plan er et todimensionalt plan, hvor komplekse tal tegnes grafisk. Den vandrette akse repræsenterer den reelle del, og den lodrette akse, ofte kaldet den imaginære akse, repræsenterer den imaginære del.

Hvordan finder du kvadratrødder af negative tal?

Kvadratrødderne af negative tal involverer brugen af ​​den imaginære enhed 'i'. For eksempel er kvadratroden af ​​-1 i, og kvadratroden af ​​-9 er 3i.

Kan imaginære tal bruges til at løse andengradsligninger?

Ja, imaginære tal kan være afgørende for at finde rødderne til andengradsligninger, der ikke har nogen reelle løsninger.

Hvordan interagerer imaginære og reelle tal i talsystemet?

Imaginære og reelle tal eksisterer side om side inden for det bredere begreb komplekse tal. De kan interagere gennem operationer som addition, subtraktion, multiplikation og division.