Afstandsformel:Find afstanden mellem to punkter

Du sidder i matematiktime og prøver at overleve din seneste popquiz. Sveden pibler ned af din pande, mens du læser prompten:"Find afstanden mellem disse punkter."

afstandsformlen du leder efter er ret ligetil og har bånd til et af de mest nyttige og berømte begreber i hele matematikken:Pythagoras sætning.

1. Hvad er afstandsformlen?
2. Forstå punktkoordinatplanet
3. Pythagoras sætning og afstandsformlen
4. Sådan finder du afstanden mellem to punkter

Hvad er afstandsformlen?

Afstandsformlen er en algebraisk ligning, der bruges til at finde længden af ​​et linjestykke mellem to punkter på en graf, kaldet det kartesiske koordinatsystem (også kendt som punktkoordinatplanet).

Dette todimensionelle plan er defineret af to vinkelrette akser (normalt mærket x-aksen og y-aksen), der skærer hinanden i et centralt punkt kaldet oprindelsen. Sådan kommer det til udtryk:

I et todimensionalt rum med to punkter P (x₁, y₁) og Q(x₂, y₂) er afstanden (d) mellem disse to punkter givet ved formlen:d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y1)²

I et tredimensionelt rum med to punkter P(x₁, y₁, z₁) og Q(x₂, y₂, z₂) er afstanden (d) mellem disse to punkter givet ved formlen:d =√ (x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Dernæst vil vi se nærmere på punktkoordinatplanet, som kan hjælpe dig med at finde nøjagtige pletter ved deres vandrette og lodrette positioner, hvilket er afgørende for alt fra matematikproblemer til GPS-navigation.

Forstå punktkoordinatplanet

Når de fleste mennesker hører ordet "graf", forestiller de sig et diagram med to linjer - en lodret og en vandret - der skærer hinanden i en ret vinkel.

Den lodrette linje kaldes y-aksen, og dens vandrette modstykke er x-aksen. Begge linjer arbejder sammen for at fortælle en historie med data.

Hvis du vil forstå, hvor et punkt hviler på din graf, skal du måle, hvor det falder langs de to dimensioner (x-aksen og y-aksen). Disse er kendt som punktets koordinater.

Du skal finde koordinaterne for det første punkt og det andet punkt, før du kan beregne afstanden mellem dem. Du skal bruge afstandsformlen til at måle det lige linjestykke, der forbinder de to punkter.

Lad os nu udforske det salige forhold mellem Pythagoras sætning og afstandsformlen.

Pythagoras sætning og afstandsformlen

Pythagoras teorem blev opkaldt efter den græske filosof Pythagoras, men over et årtusinde før hans fødsel forstod de gamle babyloniere allerede det geometriske princip, der nu er forbundet med hans navn.

I bund og grund fortæller Pythagoras sætning os, hvordan man finder den længste side af en trekant, når vi kender længderne af de to andre sider, og afstandsformlen bruger denne idé til at måle, hvor langt fra hinanden to punkter er på en graf ved at behandle punkterne som om de er i hjørnerne af en retvinklet trekant.

For dem, der har brug for en hurtig genopfriskning, siger Pythagoras sætning:Arealet af kvadratet bygget på hypotenusen af ​​en retvinklet trekant er lig med summen af ​​kvadraternes areal på de resterende sider.

Der er et par nøglepunkter at forstå her. En retvinklet trekant eller retvinklet trekant har én vinkel, der måler 90 grader, kendt som en ret vinkel. Den længste side af denne trekant kaldes hypotenusen, som er placeret modsat den rette vinkel.

Som vi alle ved, kan en trekant have tre sider, men en firkant har fire. Så forestil dig at tage hypotenusen af ​​en retvinklet trekant og forvandle den til en af ​​de fire linjer i et helt nyt kvadrat. Gør derefter det samme på de to andre sider i den oprindelige trekant. Du ender med tre individuelle firkanter.

Ifølge Pythagoras sætning har kvadratet dannet af hypotenusen et areal svarende til summen af ​​arealerne af kvadraterne dannet af de to andre sider. Hvis hypotenusen er mærket "c", og de to andre sider er mærket "a" og "b", så kunne vi udtrykke den idé sådan:

Sådan finder du afstanden mellem to punkter

Det første punkt og det andet punkt på din graf vil hver have en x-koordinat og en y-koordinat. Du kan beregne den korteste afstand mellem disse to punkter ved at bruge den euklidiske afstandsformel, som er et Pythagoras sætningsrelateret algebraisk udtryk.

D =√(x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)²

Her D står for "afstand". Hvad angår x₂ og x₁, henviser de til x-koordinaterne for henholdsvis punkt 2 og punkt 1. Det samme gælder for y₂ og y₁, bortset fra at det er de to y-koordinater.

Så for at beregne afstanden er vores første skridt at trække x₁ fra x₂. Så skal vi gange det resulterende tal med sig selv (eller med andre ord "kvadrate" det tal).

Derefter skal vi trække y₁ fra y₂ og derefter kvadrere det svar, vi får ved at gøre det. Dette vil efterlade os med to tal, vi skal lægge sammen.

Så tag endelig det tal og find dets kvadratrod. Og den kvadratrod , mine damer og herrer, er vores afstand.

Afstandsformeleksempel

OK, så lad os sige, at punkt A har en x-koordinat på 2 og en y-koordinat på 5 (2,5). Lad os også antage, at punkt B har en x-koordinat på 9 og en y-koordinat på 13 (9,13). Sæt disse værdier ind i den handy-dandy formel, og du får dette:

D =√(9-2)² + (13-5)²

Hvad er 9 minus 2? Nemt, 7. Og 13 minus 5 er selvfølgelig 8.

Nu står vi tilbage med dette:

D =√7² + 8²

Hvis du "kvadrater" 7 - som i, multiplicerer tallet med sig selv - ender du med 49. Hvad angår 8 kvadreret, der svarer til 64. Lad os sætte disse værdier ind i ligningen, ikke?

D =√49 + 64

Nu laver vi mad. Tilføj 49 og 64, og du får 113.

D =√113

Hvad er kvadratroden af ​​113? Svaret er 10,63, så derfor:

D =10,63

Gå videre og ace din næste pop-quiz!

Denne artikel blev opdateret i forbindelse med AI-teknologi, og derefter faktatjekket og redigeret af en HowStuffWorks-redaktør.

Nu er det interessant

Pythagoras var vegetar. Som Tristam Stuart skriver i sin bog fra 2008, "The Bloodless Revolution:A Cultural History of Vegetarianism:From 1600 to Modern Times", tilsluttede den antikke græske filosof "forestillingen om, at alle levende ting er beslægtede, og konsekvensen af, at det var forkert. at forårsage lidelse for dyr."