Hvad er fødselsdagsparadokset?

Hvor mange mennesker deler du fødselsdag med? I mange år kendte jeg ikke nogen, der delte min fødselsdag, men efterhånden som min gruppe af bekendtskaber blev udvidet, voksede også sandsynligheden for, at i hvert fald nogle af dem ville dele samme fødselsdato. Nu kender jeg mindst fem andre mennesker med samme sommerfødselsdag som min. Hvad er oddsene?

1. Hvordan fungerer fødselsdagsparadokset?
2. Sandsynligheden for fødselsdagsparadokset er eksponentiel
3. Svaret på fødselsdagsparadokset

Hvordan fungerer fødselsdagsparadokset?

Svaret ligger inden for fødselsdagsparadokset :Hvor stor skal en tilfældig gruppe mennesker være, for at der er 50 procents chance for, at mindst to af personerne deler fødselsdag?

Tag for eksempel et klasseværelse med skolebørn. Lad os sige, at der er 30 børn i klassen, som har 365 mulige fødselsdatoer i et kalenderår. Chancerne for, at nogen af ​​eleverne ville dele en fødselsdag, virker ret lave, ikke? Når alt kommer til alt, i en gruppe på kun 30 børn, hvis ankomster var tilfældigt fordelt over 10 gange så mange dage i løbet af et år, ville ingen sandsynligvis dele en fødselsdato, ikke?

Så hvor stor skal en gruppe af tilfældige mennesker være, for at to af dem kan dele en fødselsdag? De fleste mennesker, der hurtigt laver den mentale matematik, vil tro, at 182 er det rigtige svar, hvilket er omtrent halvdelen af ​​antallet af dage på et år. Men ville du virkelig have brug for 182 personer i en gruppe, for at to af dem har samme fødselsdato?

Nej, det er ikke så simpelt:Fødselsdagsparadokset handler om eksponentialer.

Sandsynligheden for fødselsdagsparadokset er eksponentiel

"Vigtigst er det, at folk markant undervurderer, hvor hurtigt sandsynligheden stiger med gruppestørrelsen. Antallet af mulige parringer stiger eksponentielt med gruppestørrelsen. Og mennesker er forfærdelige, når det kommer til at forstå eksponentiel vækst," Jim Frost, en statistiker og klummeskribent for den amerikanske Society of Quality's Statistics Digest, fortalte WordsSideKick.com.

Vi er bare ikke så gode til at gætte sandsynligheder, især når de er lige så kontraintuitive som fødselsdagsparadokset.

"Jeg elsker disse typer problemer, fordi de illustrerer, hvordan mennesker generelt ikke er gode med sandsynlighed, hvilket får dem til at træffe forkerte beslutninger eller drage dårlige konklusioner," sagde Frost.

For at forstå det sandsynlige antal mennesker, for at to af dem kan være fødselsdagstvillinger, er vi nødt til at regne ud - og begynde en eliminationsproces.

For en gruppe på to personer er chancen for, at den ene person vil dele fødselsdag med den anden, 364 ud af 365 dage. Det er en sandsynlighed på omkring 0,27 procent. Tilføj en tredje person til gruppen, og chancen for at dele en fødselsdag skifter til 363 ud af 365 dage, hvilket er en sandsynlighed på omkring 0,82 procent.

Svaret på fødselsdagsparadokset

Som du måske har gættet - og med rette - jo større gruppe, desto større er chancerne for, at to personer blev født på samme dag. Så hvad er det rigtige svar på fødselsdagsparadokset? Hvis vi fortsætter med regnestykket, vil vi opdage, at når vi når en gruppe på 23 personer, vil der være omkring 50 procents chance for, at to af dem deler fødselsdag.

Hvorfor virker 23 som et så kontraintuitivt svar? Det hele har med eksponenter at gøre. Vores hjerner beregner generelt ikke eksponenternes sammensætningskraft, når vi regner i vores hoveder. Vi har en tendens til at tro, at beregning af sandsynligheder er en lineær øvelse, som ikke kunne være længere fra sandheden.

Hvis du i et værelse med 22 andre personer sammenligner din fødselsdag med de andre 22 personers fødselsdage, ville det kun give 22 sammenligninger.

Men hvis du sammenligner alle 23 fødselsdage med hinanden, giver det mange flere end 22 sammenligninger. Hvor mange flere? Nå, den ene person har 22 sammenligninger at lave, men den anden person blev allerede sammenlignet med den første person, så der er kun 21 for den person at lave. Den tredje person har så 20 sammenligninger, den fjerde person har 19, og så videre. Hvis du lægger alle mulige sammenligninger sammen, er det samlede antal 253 sammenligninger eller sammenligningskombinationer. En samling på 23 personer involverer således 253 sammenligningskombinationer eller 253 chancer for, at to fødselsdage kan matche.

Her er et andet eksponentielt vækstproblem, der ligner fødselsdagsparadokset. "Til bytte for en eller anden service, antag, at du bliver tilbudt at blive betalt 1 cent på den første dag, 2 cent på den anden dag, 4 cent på den tredje, 8 cent, 16 cent og så videre i 30 dage." sagde Frost. "Er det en god handel? De fleste mennesker synes, det er en dårlig aftale, men takket være eksponentiel vækst vil du have i alt 10,7 millioner dollars på den 30. dag."

Matematiske sandsynlighedsspørgsmål som disse "viser, hvor gavnlig matematik kan være til at forbedre vores liv," sagde Frost. "Så de kontraintuitive resultater af disse problemer er sjove, men de tjener også et formål."

Næste gang du er en del af en gruppe på 23 personer, kan du føle dig sikker på, at du har 50 procent chance for at dele en fødselsdag med nogen.

Nu er det interessant

Psykologisk set er der to "systemer" hjernen bruger til at løse problemer og træffe beslutninger:Det første system er baseret på intuition og giver os mulighed for at træffe hurtige beslutninger, mens det andet system kræver bevidst (og nogle gange udstrakt) tænkning for at komme op med et svar. Fødselsdagsparadokset er afhængigt af det andet system til at regne ud og komme med et korrekt svar.

Ofte besvarede spørgsmål

Er der en chance på 50 for, at to af dem har samme fødselsdag?

Ja, der er 50 % chance for, at to af dem har samme fødselsdag.