Et simpelt kvantedynamikproblem?

Problem: Betragt et harmonisk oscillatorpotentiale i to dimensioner med Hamiltonian givet af, $$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\venstre ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac {\partial^2}{\partial y^2} \right )+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2).$$ Find energiegenværdierne og egenfunktionerne for denne system.

Løsning: Schrödinger-ligningen for dette system er:$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \partial y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$

Vi kan adskille variablerne og antage, at bølgefunktionen kan skrives som et produkt af to funktioner, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$.Substituerer denne i Schrödinger-ligningen og dividerer med $ XY$, vi får:

$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \omega^2(x^2+y^2)=E$$

LHS af denne ligning afhænger kun af x, mens RHS kun afhænger af y. Derfor skal begge sider være lig med en konstant, hvilket vi kan betegne med $E_n$,

$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$

Disse er to uafhængige endimensionelle harmoniske oscillatorproblemer, og deres løsninger er velkendte. Energiegenværdierne for bevægelsen i x-retningen er:

$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), n=0,1,2,...$$

På samme måde er energiegenværdierne for bevægelsen i y-retningen givet af den samme formel. Derfor er de samlede energiegenværdier for det todimensionelle system:

$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\left(n_x+n_y+1\right), n_x,n_y=0,1,2,...$$

De tilsvarende egenfunktioner er produkter af de endimensionelle harmoniske oscillatorbølgefunktioner:

$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$

hvor

$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ venstre(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$

og $H_n$ er de hermitiske polynomier.