Spring Constant (Hookes Law): Hvad er det og hvordan man beregner (w /enheder og formler)

Når du komprimerer eller forlænger en fjeder - eller ethvert elastisk materiale - vil du instinktivt vide, hvad der vil ske, når du frigiver den kraft, du anvender: Fjederen eller materialet vender tilbage til sin oprindelige længde.

Det er som om der er en "gendannende" kraft i fjederen, der sikrer, at den vender tilbage til sin naturlige, ukomprimerede og ikke-udvidede angiv, når du har frigivet den stress, du bruger på materialet. Denne intuitive forståelse - at et elastisk materiale vender tilbage til sin ligevægtsposition efter at enhver anvendt kraft er fjernet - kvantificeres meget mere præcist ved Hookes lov.

Hookes lov er opkaldt efter dens skaber, den britiske fysiker Robert Hooke, der sagde i 1678 at "forlængelsen er proportional med kraften." Loven beskriver i det væsentlige et lineært forhold mellem forlængelsen af en fjeder og den gendannende kraft, som den giver anledning til i foråret; med andre ord, det kræver dobbelt så meget kraft at strække eller komprimere en fjeder dobbelt så meget.

Loven, selvom den er meget nyttig i mange elastiske materialer, kaldet "lineær elastisk" eller "Hookean" materialer, gør det ikke ' t gælder for enhver situation og er teknisk set en tilnærmelse.

Imidlertid ligesom mange tilnærmelser i fysik, er Hookes lov anvendelig i ideelle fjedre og mange elastiske materialer op til deres “proportionalitetsgrænse. ”Den vigtigste konstant af proportionalitet i loven er forårskonstanten, og det at lære, hvad dette fortæller dig, og at lære at beregne det, er vigtigt for at omsætte Hookes lov i praksis.
The Hooke's Law Formula

Forårskonstanten er en vigtig del af Hookes lov, så for at forstå konstanten skal du først vide, hvad Hookes lov er, og hvad den siger. Den gode nyhed, det er en simpel lov, der beskriver et lineært forhold og har form af en grundlæggende ligelinie ligning. Formlen til Hookes lov vedrører specifikt ændringen i udvidelsen af fjederen, x
, til den gendannende kraft, F
, der er genereret i den:
F \u003d −kx

Det ekstra udtryk, k
, er forårskonstanten. Værdien af denne konstant afhænger af kvaliteten af den specifikke fjeder, og denne kan direkte afledes af fjederens egenskaber, hvis det er nødvendigt. I mange tilfælde - især i introduktionsfysikklasser - får du imidlertid simpelthen en værdi for forårskonstanten, så du kan gå foran og løse det aktuelle problem. Det er også muligt at beregne fjederkonstanten direkte ved hjælp af Hookes lov, forudsat at du kender kraftens udvidelse og størrelse.
Introduktion af fjederkonstanten, k

"Størrelsen" på forholdet mellem udvidelsen og fjederens gendannelseskraft er indkapslet i værdien fjederkonstanten, k
. Fjederkonstanten viser, hvor meget kraft der er behov for for at komprimere eller forlænge en fjeder (eller et stykke elastisk materiale) med en given afstand. Hvis du tænker over, hvad det betyder med hensyn til enheder, eller inspicerer Hookes lovformel, kan du se, at fjederkonstanten har enheder med kraft over afstand, så i SI-enheder, newton /meter.

Værdien af fjederkonstanten svarer til egenskaberne for den specifikke fjeder (eller anden type elastisk genstand), der er under overvejelse. En højere fjederkonstant betyder en stivere fjeder, der er sværere at strække (fordi for en given forskydning, x
, vil den resulterende kraft F
være højere), mens en løsere fjeder, der er lettere at strække vil have en lavere fjederkonstant. Kort sagt, forårskonstanten karakteriserer de pågældende fjeders elastiske egenskaber.

Elastisk potentiel energi er et andet vigtigt koncept, der vedrører Hookes lov, og det kendetegner energien, der er lagret i foråret, når den er forlænget eller komprimeret, der tillader det for at give en gendannende kraft, når du slipper slutningen. Komprimering eller udvidelse af fjederen omdanner den energi, du bibringer, til elastisk potentiale, og når du frigiver den, omdannes energien til kinetisk energi, når fjederen vender tilbage til sin ligevægtsposition.
Retning i Hookes lov -

Du Jeg har uden tvivl bemærket minustegnet i Hookes lov. Som altid er valget af "positiv" retning i sidste ende vilkårligt (du kan indstille akserne til at køre i en hvilken som helst retning, og fysikken fungerer på nøjagtig den samme måde), men i dette tilfælde er det negative tegn et minde om, at styrken er en gendannende kraft. "Gendannelse af kraft" betyder, at kraftens handling er at returnere fjederen til dens ligevægtsposition.

Hvis du kalder ligevægtspositionen for fjederens ende (dvs. dens "naturlige" position uden kræfter anvendt) x
\u003d 0, så vil forlængelse af fjederen føre til en positiv x
, og kraften vil virke i negativ retning (dvs. tilbage mod x
\u003d 0). På den anden side svarer komprimering til en negativ værdi for x
, og derefter virker kraften i den positive retning, igen mod x
\u003d 0. Uanset retningen af forskydningen af foråret beskriver det negative tegn kraften, der bevæger den tilbage i den modsatte retning.

Naturligvis behøver fjederen ikke at bevæge sig i x
retning (du kunne lige så godt skrive Hookes lov med y
eller z
i stedet), men i de fleste tilfælde er problemer, der involverer loven, i en dimension, og dette kaldes x
for nemheds skyld .
Elastisk potentiel energiforligning

Begrebet elastisk potentiel energi, introduceret ved siden af fjederkonstanten tidligere i artiklen, er meget nyttigt, hvis du vil lære at beregne k
ved hjælp af andre data. Ligningen for elastisk potentiel energi relaterer forskydningen, x
, og fjederkonstanten, k
, til det elastiske potentiale PE
el, og det tager den samme grundlæggende form som ligningen for kinetisk energi:
PE_ {el} \u003d \\ frac {1} {2} kx ^ 2

Som en form for energi er enhederne for elastisk potentiel energi joules (J) .

Den elastiske potentielle energi er lig med det udførte arbejde (ignorering af tab på varme eller andet spild), og du kan nemt beregne den baseret på afstanden, som fjederen er strakt, hvis du kender fjederkonstanten for forår. Tilsvarende kan du arrangere denne ligning igen for at finde fjederkonstanten, hvis du kender det udførte arbejde (siden W
\u003d PE
_{el) ved strækning af fjederen og hvor meget foråret blev udvidet.
Sådan beregnes forårskonstanten}

Der er to enkle tilgange, du kan bruge til at beregne fjederkonstanten, ved hjælp af enten Hookes lov sammen med nogle data om styrken af gendannelsen (eller anvendt ) kraft og forskydningen af fjederen fra dens ligevægtsposition, eller ved hjælp af den elastiske potentielle energi ligning sammen med figurer for det arbejde, der er udført med at udvide fjederen og forskydningen af fjederen.

Brug af Hookes lov er den enkleste fremgangsmåde at finde værdien af fjederkonstanten, og du kan endda selv hente dataene gennem en simpel opsætning, hvor du hænger en kendt masse (med kraften i dens vægt givet af F
\u003d mg
) fra en fjeder og registrer udvidelsen af fjederen. Ignorering af minustegnet i Hookes lov (da retningen ikke betyder noget for beregning af værdien af fjederkonstanten) og dividering med forskydningen, x
, giver:
k \u003d \\ frac {F} {x}

Brug af den elastiske potentielle energiformel er en lignende ligefrem proces, men den egner sig ikke så godt til et simpelt eksperiment. Men hvis du kender den elastiske potentielle energi og forskydningen, kan du beregne den ved hjælp af:
k \u003d \\ frac {2PE_ {el}} {x ^ 2}

I alle tilfælde ender du med en værdi med enheder på N /m.
Beregning af fjederkonstanten: Grundlæggende eksempler på problemer

En fjeder, der er tilføjet en vægt på 6 N, strækker sig 30 cm i forhold til dens ligevægtsposition. Hvad er forårskonstanten k
til foråret?

Det er let at tackle dette problem, hvis du tænker over de oplysninger, du har fået, og konverterer forskydningen til meter, før du beregner. 6 N vægten er et tal i newton, så du skal straks vide, at det er en kraft, og afstanden, som fjederen strækker sig fra sin ligevægtsposition, er forskydningen, x
. Så spørgsmålet fortæller dig, at F
\u003d 6 N og x
\u003d 0,3 m, hvilket betyder, at du kan beregne fjederkonstanten som følger:
\\ begynde {justert} k & \u003d \\ frac {F} {x} \\\\ & \u003d \\ frac {6 \\; \\ text {N}} {0.3 \\; \\ text {m}} \\\\ & \u003d 20 \\; \\ text {N /m} \\ end {justeret }

For et andet eksempel, forestil dig, at du ved, at 50 J elastisk potentiel energi holdes i en fjeder, der er komprimeret 0,5 m fra dens ligevægtsposition. Hvad er fjederkonstanten i dette tilfælde? Igen er fremgangsmåden at identificere de oplysninger, du har, og indsætte værdierne i ligningen. Her kan du se, at PE
_{el \u003d 50 J og x
\u003d 0,5 m. Så den omarrangerede elastiske potentielle energiligning giver:
\\ begynde {rettet} k & \u003d \\ frac {2PE_ {el}} {x ^ 2} \\\\ & \u003d \\ frac {2 × 50 \\; \\ tekst {J }} {(0.5 \\; \\ text {m}) ^ 2} \\\\ & \u003d \\ frac {100 \\; \\ text {J}} {0.25 \\; \\ text {m} ^ 2} \\\\ & \u003d 400 \\ ; \\ text {N /m} \\ ende {justeret} Fjederkonstanten: Bilophængsproblem}

En bil på 1800 kg har et affjedringssystem, der ikke kan overgå 0,1 m komprimering. Hvilken fjederkonstant har suspensionen brug for?

Dette problem kan forekomme anderledes end de foregående eksempler, men i sidste ende er processen med beregning af fjederkonstanten, k
, nøjagtig den samme. Det eneste ekstra trin er at oversætte bilens masse til en vægt
(dvs. kraften på grund af tyngdekraften, der virker på massen) på hvert hjul. Du ved, at kraften på grund af bilens vægt gives af F
\u003d mg
, hvor g
\u003d 9,81 m /s ^{2, acceleration på grund af tyngdekraften på Jorden, så du kan justere Hookes lovformel som følger:
\\ begynde {justert} k & \u003d \\ frac {F} {x} \\\\ & \u003d \\ frac {mg} {x} \\ end {alignet}}

Imidlertid hviler kun en fjerdedel af bilens samlede masse på ethvert hjul, så massen pr. fjeder er 1800 kg /4 \u003d 450 kg.

Nu skal du blot indtaste de kendte værdier og løse for at finde styrken på de nødvendige fjedre, og bemærke, at den maksimale komprimering, 0,1 m er værdien for x
skal du bruge:
\\ begin {align} k & \u003d \\ frac {450 \\; \\ text {kg} × 9,81 \\; \\ text {m /s} ^ 2} {0,1 \\; \\ tekst {m}} \\\\ & \u003d 44,145 \\; \\ tekst {N /m} \\ slut {justert}

Dette kan også udtrykkes som 44.145 kN /m, hvor kN betyder "kilonewton" eller "tusinder af newtoner."
Begrænsningerne i Hookes lov -

Det er vigtigt at understrege igen at Hooke's lov ikke gælder for enhver
situation n, og for at bruge den effektivt, skal du huske begrænsningerne i loven. Fjederkonstanten, k
, er gradienten af den lige linje del
af grafen til F
vs. x
; med andre ord kraft, der anvendes kontra forskydning fra ligevægtspositionen.

Efter "proportionalitetsgrænsen" for det pågældende materiale er forholdet imidlertid ikke længere en lige linje, og Hookes lov ophører at ansøge. Tilsvarende når et materiale når sin "elastiske grænse", reagerer det ikke som en fjeder og vil i stedet blive permanent deformeret.

Endelig antager Hookes lov en "ideel fjeder." En del af denne definition er, at fjederens respons er lineær, men det antages også at være masseløs og friktionsfri.

Disse sidste to begrænsninger er fuldstændig urealistiske, men de hjælper dig med at undgå komplikationer som følge af tyngdekraften, der virker på selve fjederen og energitab til friktion. Dette betyder, at Hookes lov altid vil være omtrentlig snarere end nøjagtig - også inden for proportionalitetsgrænsen - men afvigelserne medfører normalt ikke et problem, medmindre du har brug for meget præcise svar.