Rotations Kinetic Energy: Definition, Formula & Units (w /Eksempler)

Træghetsmomentet for ethvert objekt kan findes ved hjælp af en beregning og formlen for et inertimoment for en punktmasse.


Rotation Kinetic Energy Equation |

Formlen for roterende kinetisk energi er givet af:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2

Hvor I
er objektets træghetsmoment og ω
er objektets vinkelhastighed i radianer pr. sekund (rad /s). SI-enheden for roterende kinetisk energi er joule (J).

Formen af den roterende kinetiske energiformel er analog med den translationelle kinetiske energiligning; treghetsmoment spiller massens rolle, og vinkelhastighed erstatter lineær hastighed. Bemærk, at den roterende kinetiske energi ligning giver det samme resultat for en punktmasse som den lineære ligning gør.

Hvis vi forestiller os en punktmasse m og bevæger sig i en cirkel med radius r
med hastighed v
, så er dens vinkelhastighed ω \u003d v /r, og dens træghetsmoment er mr ^{2. Begge kinetiske energiligninger giver det samme resultat som forventet:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ annullere {r ^ 2} v ^ 2} {\\ annullere {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}}

Hvis et objekt både roterer, og dets massecenter bevæger sig langs en lige linje (som f.eks. Med et rullende dæk), er den samlede kinetiske energi
summen af den roterende kinetiske energi og de translationelle kinetiske energier:
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Eksempler Brug af roterende kinetisk energiformel

Den roterende kinetiske energiformel har mange anvendelser. Det kan bruges til at beregne den enkle kinetiske energi fra et spindende objekt, til at beregne den kinetiske energi fra et rullende objekt (et objekt, der gennemgår både roterende og translationel bevægelse) og til at løse for andre ukendte. Overvej følgende tre eksempler:

Eksempel 1: Jorden drejer rundt om sin akse cirka en gang hver 24. time. Hvis vi antager, at den har en ensartet densitet, hvad er dens roterende kinetiske energi? (Jordens radius er 6,37 × 10 ^{6 m, og dens masse er 5,97 × 10 24 kg.)}

For at finde den roterende kinetiske energi, skal vi først finde tidspunktet for inerti. Ved at tilnærme jorden som en solid sfære får vi:
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5.97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6,37 \\ gange10 ^ 6 \\ tekst {m}) ^ 2 \u003d 9,69 \\ gange10 ^ {37} \\ tekst {kgm} ^ 2

Vinkelhastigheden er 2π radianer /dag. Konvertering af dette til rad /s giver:
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ Cancel {\\ text {day}}} \\ frac {1 \\ Cancel {\\ text {day}}} {86400 \\ text {seconds}} \u003d 7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}

Så jordens roterende kinetiske energi er så:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9,69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7,27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2,56 \\ gange 10 ^ {29} \\ tekst {J}

Sjov kendsgerning: Dette er mere end 10 gange den samlede energi, som solen udsætter på et minut!

Eksempel 2: En ensartet cylinder af masse 0,75 kg og radius 0,1 m ruller hen over gulvet med en konstant hastighed på 4 m /s. Hvad er dens kinetiske energi?

Den samlede kinetiske energi gives af:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2

I dette tilfælde er I \u003d 1/2 mr ^{2 tragtmomentet for en solid cylinder, og ω
er relateret til den lineære hastighed via ω \u003d v /r_ ._}

Forenkling af udtrykket for total kinetisk energi og tilslutning af værdier giver:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0,75 \\ tekst {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2,25 \\ tekst {J}

Bemærk, at vi ikke har endda brug for at bruge radius! Det annulleres på grund af det direkte forhold mellem rotationshastighed og lineær hastighed.

Eksempel 3: En studerende på en cykel kaster ned ad en bakke fra hvile. Hvis bakkens lodrette højde er 30 m, hvor hurtigt går eleven i bunden af bakken? Antag, at cyklen vejer 8 kg, rytteren vejer 50 kg, hvert hjul vejer 2,2 kg (inkluderet i cykelvægt), og hvert hjul har en diameter på 0,7 m. Tilnærmelse af hjulene som bøjler og antager, at friktion er ubetydelig.

Her kan vi bruge mekanisk energibesparelse til at finde den endelige hastighed. Den potentielle energi øverst på bakken omdannes til kinetisk energi i bunden. Den kinetiske energi er summen af den translationelle kinetiske energi for hele person + cykelsystemet og dækkets kinetiske energier.

Systemets samlede energi:
E_ {tot} \u003d PE_ { top} \u003d mgh \u003d (50 \\ text {kg} + 8 \\ text {kg}) (9,8 \\ text {m /s} ^ 2) (30 \\ text {m}) \u003d 17,052 \\ text {J}

Formlen for total energi med hensyn til kinetiske energier i bunden af bakken er:
E_ {tot} \u003d KE_ {bund} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {dæk} \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ gange m_ {dæk} \\ gange r_ {dæk} ^ 2) (v /r_ {dæk}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {dæk} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {dæk } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2

Løsning for v
giver:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {dæk} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}

Tilsluttende tilslutning af tal får vi vores svar:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17,052 \\ text {J}} { 2.2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23.4 \\ text {m /s}