Hvad er oprindelsen af ​​Fokker-Planck-ligningen?

Fokker-Planck-ligningen, også kendt som Kolmogorov-frem ligning, stammer fra studiet af stokastiske processer , især brownisk bevægelse . Den beskriver tidsudviklingen af ​​sandsynlighedsdensitetsfunktionen af ​​et system under påvirkning af tilfældige kræfter.

Her er en sammenbrud af dens oprindelse:

1. Brownian Motion and Langevin Ligning:

* Fundamentet ligger i observationen af ​​brownisk bevægelse, den tilsyneladende tilfældige bevægelse af partikler suspenderet i en væske.

* Albert Einstein og Marian Smoluchowski forklarede denne bevægelse ved hjælp af statistisk mekanik, der demonstrerede, at den er forårsaget af den kontinuerlige bombardement af partiklerne ved molekylerne i den omgivende væske.

* Paul Langevin Senere formulerede en differentiel ligning (Langevin -ligning) for at modellere bevægelsen af ​​en partikel, der er underlagt både en deterministisk kraft (f.eks. Friktion) og en tilfældig kraft.

2. Tilslutning af Langevin til sandsynlighed:

* Langevin -ligningen beskriver banen for en enkelt partikel. For at forstå den kollektive opførsel af mange partikler er vi nødt til at arbejde med sandsynlighedsfordelinger.

* Andrey Kolmogorov og Adriaan Fokker Uafhængigt udviklede Fokker-Planck-ligningen ved at anvende en sandsynlig tilgang til Langevin-ligningen.

3. Afledning:

* De brugte ideen om en diffusionsligning , der beskriver spredning af et stof på grund af tilfældig bevægelse.

* Ved at overveje drift og diffusionsbetingelser i Langevin -ligningen afledte de en delvis differentiel ligning, der styrer tidsudviklingen af ​​sandsynlighedsdensitetsfunktionen.

4. Nøglebidrag:

* fokker Fokuseret på at udlede ligningen fra en bestemt fysisk model, mens planck arbejdede med dens matematiske rammer.

* Kolmogorov Senere generaliserede ligningen for at beskrive en bredere klasse af stokastiske processer, hvilket førte til navnet Kolmogorov -frem ligning.

I det væsentlige broer Fokker-Planck-ligningen kløften mellem den deterministiske beskrivelse af individuel partikelbevægelse (Langevin-ligningen) og den sandsynlige beskrivelse af den kollektive opførsel af mange partikler (sandsynlighedstæthedsfunktion).

Ansøgninger:

Fokker-Planck-ligningen har fundet udbredte anvendelser inden for forskellige områder, herunder:

* Fysik: Brownisk bevægelse, diffusionsprocesser, plasmafysik

* Kemi: Kemisk kinetik, reaktionsdiffusionssystemer

* biologi: Befolkningsdynamik, genekspression

* Finans: Mulighedspriser modeller, prisfastsættelse af aktiv

Det er et kraftfuldt værktøj til at forstå og forudsige opførsel af systemer, der er underlagt tilfældige udsving.