Vector -metode til at finde ud af, at accelerationen af ​​en partikel er -wwrwhere vinkelhastighed w?

forståelse af koncepterne

* cirkulær bevægelse: Når en partikel bevæger sig i en cirkulær sti, ændres dens retning konstant, selvom dens hastighed er konstant. Denne retningsændring betyder, at der er en acceleration.

* vinkelhastighed (ω): Dette måler, hvor hurtigt partiklen roterer. Det er ændringen af ​​vinklen (θ) med hensyn til tid (t):ω =dθ/dt.

* Centripetal acceleration (A _C ): Denne acceleration er rettet mod midten af ​​cirklen og er ansvarlig for at holde partiklen i bevægelse i en cirkulær sti.

afledning af accelerationen

1. Positionsvektor: Lad os sige, at partiklen er på en position r I forhold til midten af ​​cirklen. Denne positionsvektor er en funktion af tiden: r (t) .

2. hastighedsvektor: Hastighedsvektoren er tidsderivatet for positionsvektoren: v (t) =dr (t)/dt . Da partiklen bevæger sig i en cirkel, er dens hastighed altid tangent til cirklen.

3. Accelerationsvektor: Accelerationsvektoren er tidsderivatet for hastighedsvektoren: a (t) =dv (t)/dt . For at finde accelerationen er vi nødt til at differentiere hastighedsvektoren.

4. ved hjælp af polære koordinater: Det er praktisk at bruge polære koordinater (R, θ) til at beskrive partikelens position. I dette system:

* r er den radiale afstand fra midten af ​​cirklen.

* θ er den vinkel, som positionsvektoren foretager med en referencakis.

5. Udtrykkende hastighed i polære koordinater:

* v =(dr/dt) * r̂ + (r * dθ/dt) * θ̂

* R̂ er enhedsvektoren i den radiale retning.

* θ̂ er enhedsvektoren i den tangentielle retning.

6. udtrykker acceleration i polære koordinater:

* a =[(d²r/dt²) - (r * (dθ/dt) ²)] * r̂ + [(r * d²θ/dt²) + 2 * (dr/dt) * (dθ/dt)] * θ̂

7. forenkling af ensartet cirkulær bevægelse:

* For ensartet cirkulær bevægelse er radius (R) konstant, så DR/DT =0 og D²R/DT² =0.

* Også vinkelhastighed (ω) er konstant, så d²θ/dt² =0.

8. Endelig resultat:

* a =- (r * ω²) * r̂

Fortolkning:

* retning: Accelerationen er i den negative radiale retning (mod midten af ​​cirklen).

* størrelse: Størrelsen af ​​accelerationen er en _c =r * ω². Dette er den centripetale acceleration.

Derfor gives accelerationen af ​​en partikel, der gennemgår ensartet cirkulær bevægelse af - (R * ω²) * R̂, hvor R er cirkelens radius og ω er vinkelhastigheden.