Sådan finder du Derivatives

En af de vigtige operationer, du gør i calculus, er at finde derivater. Afledet af en funktion kaldes også forandringshastigheden for den funktion. For eksempel, hvis x (t) er positionen af ​​en bil til enhver tid t, er derivatet af x, som er skrevet dx /dt, bilens hastighed. Derudover kan derivatet visualiseres som hældningen af ​​en linje, der er tangent til grafen for en funktion. På teoretisk plan er det sådan, hvordan matematikere finder derivater. I praksis bruger matematikere sæt af grundlæggende regler og opslagstabeller.

Derivatet som en hældning

Hældningen af ​​en linje mellem to punkter er stigningen eller forskellen i y-værdier divideret med køre eller forskel i x-værdier. Hældningen af ​​en funktion y (x) for en bestemt værdi af x er defineret som hældningen af ​​en linje, der er tangent til funktionen ved punktet [x, y (x)]. For at beregne hældningen konstruerer du en linje mellem punktet [x, y (x)] og et nærliggende punkt [x + h, y (x + h)], hvor h er et meget lille tal. For denne linje er kørslen eller ændringen i x-værdien h, og stigningen eller ændringen i y-værdien er y (x + h) - y (x). Derfor er hældningen af ​​y (x) ved punktet [x, y (x)] omtrent lig med [y (x + h) - y (x)] /[(x + h) - x] = [y x + h) - y (x)] /h. For at få hældningen nøjagtigt, beregner du hældningens værdi, da h bliver mindre og mindre, til "grænse", hvor den går til nul. Hældningen beregnet på denne måde er derivatet af y (x), som er skrevet som y '(x) eller dy /dx.

Derivat af en effektfunktion

Du kan bruge hældning /grænse metode til at beregne derivaterne af funktioner, hvor y er lig x til kraften af ​​a, eller y (x) = x ^ a. For eksempel, hvis y er lig med x-kub, y (x) = x ^ 3, er dy /dx grænsen som h går til nul på [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] /h. Udvidelse (x + h) ^ 3 giver [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] /h, hvilket reducerer til 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 efter at du deler af h. I grænsen som h går til nul, går alle termer, der har h i dem, også til nul. Så, y '(x) = dy /dx = 3x ^ 2. Du kan gøre dette for værdier af en anden end 3, og du kan generelt vise, at d /dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Derivat fra en Power Series

Mange funktioner kan skrives som det, der kaldes en power-serie, som er summen af ​​et uendeligt talord, hvor hver er af formen C (n) x ^ n, hvor x er en variabel, n er et helt tal og C (n) er et specifikt tal for hver værdi af n. For eksempel er effektserien for sinusfunktionen Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., hvor "..." til evighed. Hvis du kender strømserien til en funktion, kan du bruge derivatet af effekten x ^ n til at beregne funktionens derivat. For eksempel er derivatet af Sin (x) lig med 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., som tilfældigvis er energiserien for Cos (x).

Derivater fra tabeller

Der findes derivater af basisfunktioner som f.eks. magt som x ^ a, eksponentielle funktioner, logfunktioner og trigfunktioner ved hjælp af hældnings- /grænsemetoden, effektseriemetoden eller andre metoder. Disse derivater er derefter angivet i tabeller. For eksempel kan du se, at derivatet af Sin (x) er Cos (x). Når komplekse funktioner er kombinationer af de grundlæggende funktioner, har du brug for særlige regler som kædelegemet og produktreglen, som også er angivet i tabellerne. For eksempel bruger du kædelegemet til at finde ud af, at derivatet af Sin (x ^ 2) er 2xCos (x ^ 2). Du bruger produktreglen til at finde ud af, at derivatet af xSin (x) er xCos (x) + Sin (x). Ved hjælp af tabeller og enkle regler kan du finde afledte af enhver funktion. Men når en funktion er ekstremt kompleks, går videnskabsmændne til tider til computerprogrammer til hjælp.