Sådan finder du en vektor, der er vinkelret

For at konstruere en vektor, der er vinkelret på en anden given vektor, kan du anvende teknikker baseret på punktproduktet og tværproduktet af vektorer. Dotproduktet af vektorerne A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) er lig med summen af ​​produkterne af de tilsvarende komponenter: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Hvis to vektorer er vinkelret, er deres prikprodukt lig med nul. Korseproduktet af to vektorer er defineret som A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Korsproduktet af to ikke-parallelle vektorer er en vektor, som er vinkelret på dem begge.

To Dimensioner - Dot Product

Skriv ned en hypotetisk, ukendt vektor V = (v1, v2).

Beregn dotproduktet af denne vektor og den givne vektor. Hvis du får U = (-3,10), så er punktproduktet V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.

Indstil punktproduktet lig med 0 og løse for en ukendt komponent i Vilkår for den anden: v2 = (3/10) v1.

Vælg enhver værdi for v1. For eksempel, lad v1 = 1.

Løs for v2: v2 = 0.3. Vektoren V = (1,0,3) er vinkelret på U = (-3,10). Hvis du vælger v1 = -1, vil du få vektoren V '= (-1, -0.3), som peger i den modsatte retning af den første løsning. Disse er de eneste to retninger i det todimensionale plan vinkelret på den givne vektor. Du kan skala den nye vektor til den størrelse, du ønsker. For eksempel for at gøre det til en enhedsvektor med størrelsen 1, ville du konstruere W = V /(størrelsen af ​​v) = V /(sqrt (10) = (1 /sqrt (10), 0,3 /sqrt (10).

Tre dimensioner - Dotprodukt

Skriv ned en hypotetisk ukendt vektor V = (v1, v2, v3).

Beregn dotproduktet af denne vektor og den givne vektor. Hvis du får U = (10, 4, -1), så V ∙ U = 10 v1 + 4 v2 - v3.

Sæt punktproduktet til nul. Dette er ligningen for et plan i tre dimensioner. Enhver vektor i det plan er vinkelret på U. Et hvilket som helst sæt af tre tal, der opfylder 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0, vil gøre.

Vælg vilkårlige værdier for v1 og v2, og løse for v3. Lad v1 = 1 og v2 = 1. Så v3 = 10 + 4 = 14.

Udfør dot-produkttesten for at vise, at V er vinkelret på U: Ved dot-produkttesten, vektoren V = (1, 1, 14) er vinkelret på vektoren U: V ∙ U = 10 + 4 - 14 = 0.

Tre dimensioner - Kors produkt

Vælg en hvilken som helst vilkårlig vektor, der ikke er paralle l til den givne vektor. Hvis en vektor Y er parallel med en vektor X, så Y = a * X for nogle ikke-nulkonstant a. For enkelhed skal du bruge en af ​​enhedens basisvektorer, f.eks. X = (1, 0, 0).

Beregn tværproduktet af X og U ved hjælp af U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).

Kontrollér at W er vinkelret på U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Brug Y = (0, 1, 0) eller Z = (0, 0, 1) ville give forskellige vinkelrette vektorer. De ville alle ligge i planet defineret af ligningen 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.