Sådan konstrueres en vinkelret vektor:En trin-for-trin-vejledning

igor kisselev/Shutterstock

Når du har brug for en vektor, der er vinkelret på en given, giver prik-produkt- og krydsproduktteknikkerne klare, pålidelige metoder. Et nulpunktsprodukt signalerer ortogonalitet, mens krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer giver en vektor, der er vinkelret på begge.

To dimensioner — Punktprodukt

Trin 1

Antag en ukendt vektor V =(v₁ , v₂ ). Denne vektor vil være vinkelret på den kendte vektor U =(u₁ , u₂ ).

Trin 2

Beregn prikproduktet:V · U =u₁ v₁ + u₂ v₂ . For eksempel, hvis U =(–3, 10), derefter V · U =–3v₁ + 10v₂ .

Trin 3

Indstil prikproduktet til nul, og løs for én komponent:–3v₁ + 10v₂ =0 ⇒ v₂ =(3/10)v₁ .

Trin 4

Vælg en værdi for v₁; lad f.eks. v₁ =1.

Trin 5

Beregn v₂ =0,3. Således V =(1, 0,3) er vinkelret på U =(–3, 10). Ved at vælge v₁ =–1 giver V ′ =(–1, –0,3), den modsatte retning. Ethvert skalært multiplum af begge vektorer forbliver vinkelret, og normalisering til længdeenhed giver W =V / √(1² + 0,3²) =(1/√10, 0,3/√10).

Tre dimensioner — Punktprodukt

Trin 1

Definer en ukendt vektor V =(v₁ , v₂ , v₃ ).

Trin 2

Beregn prikproduktet med en kendt vektor U =(10, 4, –1):V · U =10v₁ + 4v₂ – v₃ .

Trin 3

Indstil prikproduktet til nul, hvilket giver planligningen 10v₁ + 4v₂ – v₃ =0. Enhver vektor, der opfylder denne relation, er vinkelret på U .

Trin 4

Vælg praktiske værdier, f.eks. v₁ =1 og v₂ =1, løs derefter for v₃ =10 + 4 =14. Dette giver V =(1, 1, 14).

Trin 5

Bekræft ortogonalitet:V · U =10(1) + 4(1) – 14 =0. Således V er faktisk vinkelret på U .

Tre dimensioner — tværgående produkt

Trin 1

Vælg en vektor, der ikke er parallel med U . Et praktisk valg er en basisvektor, såsom X =(1, 0, 0).

Trin 2

Beregn krydsproduktet:W =X × U =(0, 1, 4) når U =(10, 4, –1).

Trin 3

Bekræft vinkelret:W · U =0·10 + 1·4 + 4·(–1) =0. Brug af forskellige ikke-parallelle vektorer som (0, 1, 0) eller (0, 0, 1) vil producere andre vinkelrette vektorer, der alle ligger i planet defineret af 10v₁ + 4v₂ – v₃ =0.