Sådan beregnes trigonometriske funktioner uden en lommeregner

Af Allison Boley
Opdateret 30. august 2022

HasseChr/iStock/GettyImages

Trigonometri er studiet af vinkler og deres tilknyttede forhold - sinus, cosinus og tangent. Mens moderne regnemaskiner gør disse beregninger øjeblikkelige, kræver mange eksamener og hjemmeopgaver, at du løser dem manuelt. Nedenfor er en kortfattet vejledning, der dækker alle de væsentlige metoder, fra at huske nøglevinkler til at bruge retvinklet geometri og endda klassiske trigonometriske tabeller.

Trig-funktioner på koordinatakserne

Vinkler, der flugter med akserne (0°, 90°, 180°, 270°), har enkle sinus- og cosinusværdier, der kan huskes:

• sin0°=0     cos0°=1
• sin90°=1     cos90°=0
• sin180°=0    cos180°=–1
• sin270°=–1   cos270°=0

Disse basiscases fungerer som ankre for alle andre vinkler, især når de kombineres med symmetriargumenter.

Højre trekanter og SOHCAHTOA-reglen

Når et problem præsenterer en retvinklet trekant, akronymet SOHCAHTOA guider dig gennem de trigonometriske forhold:

• S ine=Modsat / Hypotenuse
• C osine=Adjacent / Hypotenuse
• T angent=Modsat / Tilstødende

Betragt for eksempel en trekant med vinklerne 90°, 12°, 78°. Hvis hypotenusen er 24 enheder og siden modsat 12° vinklen er 5 enheder, så:

sin12°=5/24≈0,2083

At kende den resterende side (tilstødende) giver dig mulighed for at beregne cosinus og tangent på samme måde.

Særlige retvinklede trekanter

To klassiske retvinklede konfigurationer forenkler mange beregninger:

• 30°–60°–90° trekant :sideforhold 1 :√3 :2 (modsat 30°, modsat 60°, hypotenuse)
• 45°–45°–90° trekant :sideforhold 1 :1 :√2 (ligebenet retvinklet trekant)

Disse forhold giver dig mulighed for øjeblikkeligt at nedskrive sinus, cosinus og tangens for 30°, 60° og 45°:

• sin30°=1/2  cos30°=√3/2  tan30°=1/√3
• sin60°=√3/2  cos60°=1/2  tan60°=√3
• sin45°=√2/2  cos45°=√2/2  tan45°=1

Disse grundvinkler dækker de fleste "særlige" tilfælde, du vil støde på i lærebøger og eksamener.

Brug af trigonometriske tabeller

Når hverken en retvinklet trekant eller en speciel vinkel er angivet, er trigonometriske tabeller en pålidelig reserve. De angiver forudberegnede værdier for sinus, cosinus og tangens for hver grad fra 0° til 90° (og nogle gange længere). Mens digitale værktøjer er almindelige, forbliver et papirbord en værdifuld ressource til manuel beregning.

Ressourcer

Se PDF'en i afsnittet Ressourcer i denne artikel for at få en udskrivbar trig-tabel.