Det grundlæggende i firkantede rødder (eksempler og svar)

Firkantede rødder findes ofte i matematiske og videnskabelige problemer, og enhver studerende har brug for at samle det grundlæggende i firkantede rødder for at tackle disse spørgsmål. Firkantede rødder spørger “hvilket tal, når det ganges med sig selv, giver følgende resultat,” og som sådan kræver det at bearbejde dem, at du tænker på tal på en lidt anden måde. Du kan imidlertid nemt forstå reglerne for firkantede rødder og besvare spørgsmål, der involverer dem, hvad enten de kræver direkte beregning eller blot forenkling.

TL; DR (for lang; læste ikke)

En firkantet rod spørger dig, hvilket nummer, der ganges med sig selv, giver resultatet efter √-symbolet. Så √9 \u003d 3 og √16 \u003d 4. Hver rod har teknisk et positivt og negativt svar, men i de fleste tilfælde er det positive svar det, du vil være interesseret i.

Du kan faktor kvadratrødder ligesom almindelige tal, så √ ab
\u003d √ a
√ b
, eller √6 \u003d √2√3.
Hvad er en firkantet rod?

Firkantede rødder er det modsatte af at ”kvadrere” et tal eller multiplicere det med sig selv. For eksempel er tre kvadrater ni (3 ^{2 \u003d 9), så kvadratroten af ni er tre. I symboler er dette √9 \u003d 3. “√” -symbolet fortæller dig at tage kvadratroten af et tal, og du kan finde det på de fleste regnemaskiner.}

Husk, at hvert tal faktisk har to og firkantede rødder. Tre ganget med tre er lig med ni, men negative tre ganget med negative tre er også lig med ni, så 3 ^{2 \u003d (−3) 2 \u003d 9 og √9 \u003d ± 3, med ± står ind for “plus eller minus. ”I mange tilfælde kan du ignorere de negative firkantede rødder af tal, men nogle gange er det vigtigt at huske, at hvert tal har to rødder.}

Du bliver muligvis bedt om at tage" terningroden "eller" fjerde rod ”af et tal. Kubens rod er det tal, der, når det multipliceres med sig selv to gange, er lig med det originale tal. Den fjerde rod er det tal, der, når det ganges ganget med sig selv, er lig med det originale tal. Ligesom firkantede rødder er disse netop det modsatte af at tage magten af tal. Så 3 <sup>3 \u003d 27, og det betyder, at terningen rod af 27 er 3, eller or27 \u003d 3. "∛" symbolet repræsenterer terningen rod af det nummer, der kommer efter det. Roots udtrykkes undertiden også som fraktionelle kræfter, så √ x
\u003d x
1/2 og ∛ x

\u003d x
1/3.
Forenkling af firkantede rødder</sup>

En af de mest udfordrende opgaver, du muligvis skal udføre med firkantede rødder, er at forenkle store firkantede rødder, men du skal bare følge nogle enkle regler til at tackle disse spørgsmål. Du kan faktor kvadratiske rødder på samme måde som du faktor almindelige tal. Så for eksempel 6 \u003d 2 × 3, så √6 \u003d √2 × √3.

Forenkling af større rødder betyder at tage faktoriseringen trin for trin og huske definitionen af en firkantet rod. For eksempel er √132 en stor rod, og det kan være svært at se, hvad man skal gøre. Du kan dog nemt se, at det kan deles med 2, så du kan skrive √132 \u003d √2 √66. 66 kan dog også deles med 2, så du kan skrive: √2 √66 \u003d √2 √2 √33. I dette tilfælde giver en kvadratrot af et tal ganget med en anden kvadratrod bare det originale tal (på grund af definitionen af kvadratrod), så √132 \u003d √2 √2 √33 \u003d 2 √33.

Kort sagt kan du forenkle firkantede rødder ved hjælp af følgende regler

√ ( a
× b
) \u003d √ a
× √ b

√ a
× √ a
\u003d a

Hvad er den firkantede rod af ...

Ved hjælp af definitionerne og reglerne ovenfor kan du finde kvadratrødderne i de fleste tal. Her er nogle eksempler, der skal tages i betragtning.
Kvadratroten af 8

Dette kan ikke findes direkte, fordi det ikke er kvadratroten af et helt tal. Brug af reglerne til forenkling giver imidlertid:

√8 \u003d √2 √4 \u003d 2√2
Kvadratroten af 4

Dette gør brug af den enkle firkantede rod på 4 , som er √4 \u003d 2. Problemet kan løses nøjagtigt ved hjælp af en lommeregner, og √8 \u003d 2.8284 ....
Kvadratroten af 12

Brug den samme fremgangsmåde og prøv at finde ud af kvadratroden af 12. Opdel roden i faktorer, og se derefter, om du kan opdele den i faktorer igen. Forsøg dette som et praksisproblem, og se derefter på løsningen nedenfor:

√12 \u003d √2√6 \u003d √2√2√3 \u003d 2√3

Igen, dette forenklede udtryk kan enten bruges i problemer efter behov eller beregnes nøjagtigt ved hjælp af en lommeregner. En lommeregner viser, at √12 \u003d 2√3 \u003d 3.4641….
Kvadratroten på 20

Kvadratroten af 20 kan findes på samme måde:

√20 \u003d √2√10 \u003d √2√2√5 \u003d 2√5 \u003d 4.4721….
Kvadratroten af 32

Til sidst skal man tackle kvadratroten af 32 ved hjælp af den samme tilgang:

√32 \u003d √4√8

Her skal du bemærke, at vi allerede har beregnet kvadratroten af 8 som 2√2, og at √4 \u003d 2, så:

√32 \u003d 2 × 2√2 \u003d 4√2 \u003d 5.657 ....
Firkantet rod af et negativt tal

Selvom definitionen af en firkantet rod betyder, at negative tal ikke skal have en firkantet rod (fordi ethvert tal ganget med sig selv giver et positivt tal som et resultat), matematikere stødte på dem som en del af problemer i algebra og udtænkte en løsning. Det "imaginære" tal i
bruges til at betyde "kvadratroden på minus 1" og alle andre negative rødder udtrykkes som multipla af i
. Så √ − 9 \u003d √9 × i
\u003d ± 3_i_. Disse problemer er mere udfordrende, men du kan lære at løse dem baseret på definitionen af i
og standardreglerne for rødder.
Eksempel Spørgsmål og svar

Test din forståelse af firkant rødder ved at forenkle efter behov og derefter beregne følgende rødder:

√50

√36

√70

√24

√27

Prøv at løse disse, før du ser på nedenstående svar:

√50 \u003d √2 √25 \u003d 5√2 \u003d 7.071

√36 \u003d 6

√70 \u003d √7 √10 \u003d √7 √2 √5 \u003d 8.637

√24 \u003d √2 √12 \u003d √2 √2 √6 \u003d 2√6 \u003d 4.899

√27 \u003d √3 √9 \u003d 3√3 \u003d 5.196