Standardform for en lineær ligning

Lineære ligninger (ligninger, hvis grafer er en linje) kan skrives i flere formater, men standardformen på en lineær ligning ser sådan ud:

Ax
+ Efter
\u003d C

A
, B
og C
kan være et vilkårligt tal - inklusive negative tal, nul og en! Så eksempler på standardform kan se sådan ud:

3_x_ + 7_y_ \u003d 10, hvor A
\u003d 3, B
\u003d 7 og C
\u003d 10.

Eller de kan se sådan ud:

x
+ 5_y_ \u003d 6. I dette tilfælde A
\u003d 1, B
\u003d 5 og C
\u003d 6.

Eller dette:

8_y_ \u003d 9. I dette tilfælde A
\u003d 0 , hvorfor x
ikke vises i ligningen. B
\u003d 8 og C
\u003d 9, som du ville forvente.

Og her er en mere:

3_x_ - 5_y_ \u003d 12. Her, A
\u003d 3, B
\u003d −5 og C
\u003d 12. Bemærk, at i dette tilfælde er B
negativ fem!

Standardformen for en lineær ligning er Axe + + Efter
\u003d C
, hvor A
, B
og C
kan være et vilkårligt antal.
Hvorfor standardform er nyttig?

Standardform er fantastisk til at finde x
og y
afskærmninger af en graf, det vil sige det punkt, hvor grafen krydser x
-axen, og det punkt, hvor den krydser y og -axen. Når man løser ligningssystemer - finde det punkt, hvor to eller flere funktioner krydser hinanden, skrives ligningerne ofte i standardform.
Sådan forvandles en ligning til standardform

Du kan vende en ligning, der er skrevet i andre formater i standardform. Du kan også skrive en ligning i standardform, hvis du kun får to punkter på en linje, selvom den nemmeste måde at gøre det på er at gennemgå andre formater først. I dette næste eksempel dækker vi, hvordan man gør begge disse ting: skriv en ligning i standardform, når du kun får to point, og ændre andre ligningsformater til standardform.

Eksempel: Tag disse to punkter: (1,1) og (2,3) og skriv ligningen på linjen i standardform.

Vi skal gennem disse trin:

1. Find hældningen.
   
2. Skriv ligningen i punkt-hældningsform.
   
3. Drej ligningen til hældningsafskærmningsform.
   
4. Drej ligningen til standardform.
   
   
   1. Find skråningen
      
      

      Hældningen er, hvor stejl vores linje er. I algebraiske termer er det ændringen i y
      divideret med ændringen i x
      . Hvis vi har to punkter, ( x
      _{1, y
      1) og ( x
      2, y
      2), er skråningen:}
      

      ( y
      _{2 - y
      1) ÷ ( x
      2 - x
      1)}
      

      Så for vores eksempel er vores punkter (1,1) og (2,3) så hældningen er:
      

      (3 - 1) ÷ (2 - 1)
      

      hældning \u003d 2 ÷ 1, eller 2.
      

   2. Sæt ligningen i punkt-hældningsform
      
      

      Husk, at punkt-hældningsformen ser sådan ud:
      

      y
      - y
      <sub>1 \u003d m
      ( > x
      - x
      1).</sub>
      

      x
      og y
      er bare vores variabler, men x
      _{1 og y
      1 er koordinaterne for et specifikt punkt på linjen og m er skråningen.}
      

      Så lad os tilslutte hældningen fra vores eksempel og et af vores punkter, (1,1), for at oprette en ligningspunkt-hældningsform.
      

      Punkt-hældningsform: y
      - 1 \u003d 2 ( x
      - 1)
      

      Forenkle nu: y
      - 1 \u003d 2_x_ - 2.
      

   3. Form for hældningsafskærmning
      
      

      Hældningsafskærmning fo rm har dette format:
      

      y
      \u003d mx
      + b
      ,
      

      hvor m
      er linjenes hældning og b
      er y og -afskærmningen.
      

      For at komme fra punkthældningsform til hældningsafskærmningsform, ønsker vi at få y
      i sig selv på venstre side af ligningen.
      

      Lige nu har vi y
      - 1 \u003d 2_x_ - 2. Så lad os tilføje 1 til begge sider, så vi kan få y
      af sig selv:
      

      y
      \u003d 2_x_ - 1.
      

      Da vi tilføjede 1 på venstre side, annulleres det med −1 . Da vi tilføjede 1 på højre side, føjede vi det til konstanten, der allerede var der, og fik −2 + 1 \u003d −1.
      

   4. Kom i standardformular
      
      

      Husk, at standardformular ser sådan ud:
      

      Axe + + Af
      \u003d C
      
      

      Så lad os flytte vores 2_x_ til den anden side af ligetegnet ved at trække 2_x_ fra begge sider:
      

      −2_x_ + y
      \u003d 2.
      

      Da vi fratrækkede 2_x_ på højre side, annulleres det. Da vi trak det fra venstre, satte vi det foran y
      så det er i vores temmelig standardform.
      

      Så standardformen for denne ligning er −2_x_ + y
      \u003d 2, hvor A
      \u003d −2, B
      \u003d 1 og C
      \u003d 2.
      

      Tillykke! Du har lige forvandlet en ligning fra hældningsafskærmningsform til standardform, og du lærte at skrive en ligning i standardform ved kun at bruge to punkter.