Matematikere knækker 44-årigt problem

Israel Institute of Technology og Alexandr Polyanskii fra Moscow Institute of Physics and Technology (MIPT) har bevist László Fejes Tóths zoneformodning. Formuleret i 1973, den siger, at hvis en enhedssfære er fuldstændig dækket af flere zoner, deres kombinerede bredde er mindst π. Beviset, offentliggjort i tidsskriftet Geometrisk og funktionel analyse , er vigtig for diskret geometri og gør det muligt for matematikere at formulere nye problemer.

Diskret geometri studerer punkters kombinatoriske egenskaber, linjer, cirkler, polygoner og andre geometriske objekter. Hvad er det største antal lige store bolde, der kan passe rundt om en anden bold af samme størrelse? Hvad er den tætteste måde at pakke lige store cirkler i et fly, eller bolde i et rum? Disse spørgsmål og andre behandles ved hjælp af diskret geometri.

Løsninger på problemer som disse har praktiske anvendelser. Dermed, det tætte pakkeproblem har hjulpet med at optimere kodning og rette fejl i datatransmission. Et yderligere eksempel er firefarvesætningen, som siger, at fire farver er tilstrækkelige til at plotte ethvert kort på en kugle, så ikke to tilstødende områder har den samme farve. Det har fået matematikere til at introducere begreber, der er vigtige for grafteori, hvilket er afgørende for mange af de seneste udviklinger inden for kemi, biologi og datalogi, samt logistiksystemer.

Tóths zoneformodning er tæt forbundet med en række andre problemer inden for diskret geometri, der blev løst i det 20. århundrede, der beskæftiger sig med at dække en overflade med strimler. Den første blandt dem var det såkaldte plankeproblem, hvilket involverede at dække en skive med strimler afgrænset af parallelle linjer. Alfred Tarski og Henryk Moese fremlagde et simpelt bevis, der viste, at den kombinerede bredde af disse strimler, eller planker, kan ikke overstige diskens diameter. Det er, der er ingen bedre måde at dække en skive på end med en enkelt planke, hvis bredde svarer til skivens diameter. Thøger Bang løste så problemet med at dække en vilkårlig konveks krop med strimler. Nemlig han beviste, at den kombinerede bredde af strimlerne, der dækker en konveks krop, i det mindste er bredden af ​​selve kroppen, det er, minimumsbredden af ​​en enkelt strimmel, der dækker kroppen.

Problemet, som forfatterne tackler, er anderledes ved, at det involverer at dække en enhedssfære med specielt konstruerede zoner. Specifikt, hver zone er kuglens skæringspunkt med en bestemt tredimensionel planke, hvor en planke er området af rummet indeholdt mellem to parallelle planer, der er symmetriske i forhold til kuglens centrum. Alternativt zoner kan defineres i geodætisk metrisk rum uden brug af planker:En zone med bredden ω på overfladen af ​​en enhedskugle er det sæt af punkter, der ikke ligger længere end ω/2 fra storcirklen, eller ækvator, med afstandene mellem punkter målt som de korteste buer, der forbinder dem. Matematikerne skulle finde den minimale kombinerede bredde af sådanne zoner, der dækker enhedssfæren. Dermed, problemet adskiller sig fra dem, der tidligere er løst i, hvordan bredden måles - det er defineret som længden af ​​en bue, snarere end den euklidiske afstand mellem parallelle linjer eller planer.

Beviset præsenteret af Jiang og Polyanskii var inspireret af Bang, hvem løste problemet med at dække en krop med strimler ved at danne et særligt endeligt sæt punkter i kroppen, hvoraf den ene angiveligt ikke var dækket af nogen af ​​strimlerne. På en måde, både Bang og forfatterne frembringer et modsigelsesbevis. I tilfælde af Fejes Tóths formodning, matematikerne antog, at den kombinerede bredde af zoner, der fuldstændigt dækkede kuglen, var mindre end π og søgte at nå frem til en modsigelse - nemlig, finde et punkt, der ligger på kuglen, men ikke i nogen af ​​zonerne.

Forfatterne har vist, at det er muligt at danne et sæt punkter i tredimensionelt rum, således at mindst et punkt ikke er dækket af plankerne, der udgør zonerne. Hvis hele dette sæt ligger inde i kuglen, det er så relativt nemt at plotte et andet punkt på kuglen, som heller ikke er dækket af plankerne, og dermed ved zonerne. Hvis nogle af punkterne i sættet tilfældigvis ligger uden for kuglen, det viser sig at være muligt at erstatte en større zone med flere mindre, hvis kombinerede bredde er lig med den større zone. Dermed, det er muligt at reducere antallet af zoner i det indledende problem uden at påvirke deres kombinerede bredde. Til sidst, der identificeres et punkt på kuglen, som ikke er dækket af zonerne. Dette er i modstrid med hypotesen om, at den kombinerede bredde af zonerne er mindre end π, beviser Fejes Tóths formodning.

Problemet blev løst i n-dimensionelt rum, men forfatterne siger, at dette ikke adskiller sig fra tilfældet med tre dimensioner.

"Fejes Tóths problem har fascineret matematikere inden for diskret geometri i over 40 år, " siger forfatter Alexandr Polyanskii fra Institut for Diskret Matematik, MIPT. "Dette problem viste sig at have en elegant løsning, som vi var heldige at finde. Fejes Tóths problem fik os til at overveje et andet, mere grundlæggende formodning om dækning af en kugle af forskudte zoner defineret som kuglens skæring med tredimensionelle planker, der ikke nødvendigvis er centralt symmetriske."