Matematikere foreslår den første kontinuerlige selvorganiserede kritikalitetsmodel

En international gruppe af forskere (førsteforfatteren er Nikita Kalinin, Higher School of Economics-Saint-Petersburg, den sidste forfatter er Ernesto Lupercio, CINVESTAV, Mexico) har præsenteret den første kontinuerlige model, der beskriver selvorganiseret kritikalitet. Den foreslåede løsning er enklere og mere universel end den klassiske sandbunkemodel. Den integrerer områder så fjernt fra hinanden som økonomi, udviklingsbiologi, og tyngdekraft i sammenhæng med tropisk geometri. Avisen blev udgivet i Proceedings of the National Academy of Sciences .

Et system siges at være i en kritisk tilstand, hvis en ekstern kraft, dog lille, kan producere en lavineeffekt, der forårsager en ændring i systemets adfærd. Disse omfatter faseovergange:Når en enkelt iskrystal kommer frem i vand, der er afkølet til nul grader Celsius, en isklynge vil straks begynde at dannes.

Der er visse dynamiske systemer, der tenderer mod en kritisk tilstand - jordskælv er et illustrativt eksempel. Mens en vis temperatur og tryk er påkrævet for at vandet kan fryse, ingen præcise parametre skal opfyldes, for at et jordskælv kan ske. Hovedårsagen til jordskælv er den kontinuerlige bevægelse af tektoniske plader, og at forudsige det nøjagtige tidspunkt, hvor systemet vil opnå en kritisk tilstand og producere en lavine, er praktisk talt umuligt.

Mange forskere har forsøgt at løse mysteriet om jordskælv. I midten af ​​det 20. århundrede, Amerikanske seismologer Gutenberg og Richter viste en sammenhæng mellem størrelsen og det samlede antal jordskælv i en given region. Dette forhold er beskrevet af potensloven udtrykt som en ret linje på en dobbelt logaritmisk skala.

Fænomener, der deler denne egenskab, er siden blevet fundet i geofysikken, kosmologi, økonomi, risikostyringsteori og andre områder. Alle kan beskrives ved teorien om selvorganiseret kritikalitet (SOC).

Konceptet SOC blev introduceret af Per Bak, Chao Tang og Kurt Wiesenfeld i 1987. I deres banebrydende papir, de fremsætter det arketypiske eksempel på et SOC-system:Sandpile-modellen. Forestil dig et firkantet gitter med sandkorn i hvert af dets hjørner, hvor nye korn falder på nettet med en bestemt frekvens. Det antages, at hvis der ikke er mere end tre sandkorn i hvert toppunkt, systemet forbliver stabilt. Men så snart et fjerde sandkorn falder oven på et toppunkt, det vælter, og sandet glider ned af denne top og bliver omfordelt til nabospidser. Vælten vil fortsætte i en lavine, indtil systemet vender tilbage til ligevægt. Fysikernes nøgleopdagelse var, at antallet af hjørner, der vælter (dvs. størrelsen af ​​det kollapsede område) opfylder en magtlovfordeling.

Sandbunkemodellen har længe været den klassiske model, der beskriver SOC. Imidlertid, den beskriver kun dynamikken i kritiske systemer på det fænomenologiske niveau og kan ikke bruges til at simulere et jordskælv eller forudsige adfærden af ​​en rigtig sandbunke.

"Den gamle sandbunkemodel, rent kombinationsmæssigt, skiller sig noget ud fra matematikkens store verden. Vores model er et skridt fremad, fordi den har alle fordelene ved sandbunkemodellen, men den er også geometrisk og kontinuerlig, gør det meget nemmere at bruge, " forklarer forfatter Nikita Kalinin, seniorforsker ved HSE International Laboratory of Game Theory and Decision Making. "Vi har vist, at magtlovskorrelationer kan opnås i et kontinuerligt system, der ikke er en cellulær automat ved hjælp af tropisk geometri, som har mange applikationer i dag."

"Tropisk geometri er en gren af ​​det enogtyvende århundrede af geometri inspireret af klassisk algebraisk geometri, der har blomstret på grund af dens forbindelser til mange videnskabsområder, primært strengteori, " siger Dr. Ernesto Lupercio fra CINVESTAV.

I stedet for det gitter, der bruges i den klassiske sandbunkemodel, den nye tropiske sandbunkemodel betragter en tropisk kurve - en plan graf med retlinede kanter - omsluttet af en firkant. Kurven opdeler kvadratet i polygonale områder, hver indeholder et tilfældigt udvalgt sæt punkter. Når et nyt punkt tilføjes, den tropiske kurve forsøger at passere gennem den, og det polygonale område, der indeholder punktet, trækkes sammen via en parallel overførsel af dets kanter. Så snart en af ​​kanterne rammer punktet, processen stopper. Derefter tilføjes et nyt punkt, og det starter forfra. Det forrige punkt kan være væk fra kurven igen, og systemet vil begynde at bevæge sig hen imod det.

Denne konvergensproces er en endelig variant af at tilføje sandkorn til en sandbunke. I den nye model, lavinestørrelsen svarer til det område, der fejes af de konvergerende områder i den proces, der initieres ved at tilføje et tilfældigt punkt. Forskerne håber, at deres model vil hjælpe med at afklare forholdet mellem forskellige fænomener, der manifesterer SOC-egenskaber.

"Vi kan observere ligheder i forskellige fænomener set gennem matematikkens linse. Tropisk geometri har anvendelser i strengteori, økonomi og udviklingsbiologi. Værdien af ​​vores arbejde ligger i at finde forbindelser på uventede steder. Det betyder, at de metoder, der anvendes på et område, kan anvendes på et andet. Du behøver kun at tage det næste skridt, " siger Kalinin.