Brug af computere til at åbne århundreder gamle matematiske gåder

I matematik, ingen forsker arbejder i ægte isolation. Selv dem, der arbejder alene, bruger deres kollegers og forgængeres teoremer og metoder til at udvikle nye ideer.

Men når en kendt teknik er for svær at bruge i praksis, matematikere kan negligere vigtige – og ellers løselige – problemer.

For nylig, Jeg sluttede mig til flere matematikere på et projekt for at gøre en sådan teknik lettere at bruge. Vi producerede en computerpakke for at løse et problem kaldet "S-enhedsligningen, " med håbet om, at talteoretikere af alle striber lettere kan angribe en lang række uløste problemer i matematik.

Diofantiske ligninger

I sin tekst "Arithmetica, " Matematikeren Diophantus kiggede på algebraiske ligninger, hvis løsninger skal være hele tal. Som det sker, disse problemer har meget at gøre med både talteori og geometri, og matematikere har studeret dem lige siden.

Hvorfor tilføje denne begrænsning af kun helnummerløsninger? Sommetider, årsagerne er praktiske; det giver ikke mening at opdrætte 13,7 får eller købe -1,66 biler. Derudover matematikere er tiltrukket af disse problemer, nu kaldet diofantiske ligninger. Tiltrækningen kommer fra deres overraskende vanskeligheder, og deres evne til at afsløre grundlæggende sandheder om matematikkens natur.

Faktisk, matematikere er ofte uinteresserede i de specifikke løsninger på et bestemt diofantisk problem. Men når matematikere udvikler nye teknikker, deres magt kan demonstreres ved at afgøre tidligere uløste diofantiske ligninger.

Andrew Wiles' bevis for Fermats sidste sætning er et berømt eksempel. Pierre de Fermat hævdede i 1637 – i margenen af ​​en kopi af "Arithmetica, " ikke mindre – at have løst den diofantiske ligning xⁿ + yⁿ =zⁿ, men gav ingen begrundelse. Da Wiles beviste det over 300 år senere, matematikere lagde straks mærke til det. Hvis Wiles havde udviklet en ny idé, der kunne løse Fermat, hvad kunne den idé ellers gøre? Talteoretikere løb for at forstå Wiles' metoder, at generalisere dem og finde nye konsekvenser.

Der findes ikke en enkelt metode, der kan løse alle diofantiske ligninger. I stedet, matematikere dyrker forskellige teknikker, hver egnet til visse typer diophantinproblemer, men ikke andre. Så matematikere klassificerer disse problemer efter deres egenskaber eller kompleksitet, meget ligesom biologer kan klassificere arter efter taksonomi.

Finere klassificering

Denne klassifikation producerer specialister, da forskellige talteoretikere specialiserer sig i teknikker relateret til forskellige familier af diofantiske problemer, såsom elliptiske kurver, binære former eller Thue-Mahler ligninger.

Inden for hver familie, den finere klassificering bliver tilpasset. Matematikere udvikler invarianter – visse kombinationer af koefficienterne i ligningen – der skelner mellem forskellige ligninger i den samme familie. Det er let at beregne disse invarianter for en specifik ligning. Imidlertid, de dybere forbindelser til andre områder af matematik involverer mere ambitiøse spørgsmål, såsom:"Er der nogen elliptiske kurver med invariant 13?" eller "Hvor mange binære former har invariant 27?"

S-enhedsligningen kan bruges til at løse mange af disse større spørgsmål. S refererer til en liste over primtal, gerne {2, 3, 7}, relateret til det specifikke spørgsmål. En S-enhed er en brøk, hvis tæller og nævner dannes ved kun at gange tal fra listen. Så i dette tilfælde, 3/7 og 14/9 er S-enheder, men 6/5 er ikke.

S-enhedsligningen er vildledende enkel at angive:Find alle par af S-enheder, der lægges til 1. Find nogle løsninger, gerne (3/7, 4/7), kan gøres med pen og papir. Men nøgleordet er "alle, "og det er det, der gør problemet vanskeligt, både teoretisk og beregningsmæssigt. Hvordan kan du nogensinde være sikker på, at alle løsninger er fundet?

I princippet, matematikere har vidst, hvordan man løser S-enhedsligningen i flere år. Imidlertid, processen er så indviklet, at ingen nogensinde kunne løse ligningen i hånden, og få sager er blevet løst. Det er frustrerende, fordi mange interessante problemer allerede er blevet reduceret til "bare" at løse en bestemt S-enhedsligning.

Hvordan løseren fungerer

Omstændighederne ændrer sig, imidlertid. Siden 2017, seks talteoretikere i hele Nordamerika, inklusiv mig selv, har bygget en S-enhedsligningsløser til open source-matematiksoftwaren SageMath. Den 3. marts vi annoncerede afslutningen af ​​projektet. For at illustrere dens anvendelse, vi brugte softwaren til at løse flere åbne Diophantine-problemer.

Den primære vanskelighed ved S-enhedsligningen er, at selvom kun en håndfuld løsninger vil eksistere, der er uendeligt mange S-enheder, der kunne være en del af en løsning. Ved at kombinere et berømt teorem af Alan Baker og en delikat algoritmisk teknik af Benne de Weger, løseren fjerner de fleste S-enheder fra overvejelse. Selv på dette tidspunkt, der kan være milliarder af S-enheder – eller flere – tilbage at kontrollere; programmet forsøger nu at gøre den endelige søgning så effektiv som muligt.

Denne tilgang til S-enhedsligningen har været kendt i over 20 år, men er kun brugt sparsomt, fordi de involverede beregninger er komplicerede og tidskrævende. Tidligere, hvis en matematiker stødte på en S-enhedsligning, som hun ville løse, der var ingen automatiseret måde at løse det på. Hun skulle omhyggeligt gå gennem Bakers arbejde, de Weger og andre, derefter skrive sit eget computerprogram til at udføre beregningerne. At køre programmet kan tage timer, dage eller endda uger, før beregningerne er færdige.

Vores håb er, at softwaren vil hjælpe matematikere med at løse vigtige problemer inden for talteori og forbedre deres forståelse af naturen, skønhed og effektivitet af matematik.

Denne artikel er genudgivet fra The Conversation under en Creative Commons-licens. Læs den originale artikel.