Hvad er en geometrisk sekvens?

I en geometrisk sekvens er hvert udtryk lig med det foregående udtryk gange en konstant, ikke-nul multiplikator kaldet den fælles faktor. Geometriske sekvenser kan have et fast antal vilkår, eller de kan være uendelige. I begge tilfælde kan betingelserne i en geometrisk sekvens hurtigt blive meget store, meget negative eller meget tæt på nul. Sammenlignet med aritmetiske sekvenser ændres betingelserne meget hurtigere, men mens uendelige aritmetiske sekvenser stiger eller falder støt, kan geometriske sekvenser nærme sig nul, afhængigt af den fælles faktor.

TL; DR (for lang tid Læs)

En geometrisk sekvens er en ordnet liste over tal, hvor hvert udtryk er produktet fra det foregående udtryk og en fast, ikke-nul multiplikator kaldet den fælles faktor. Hver term af en geometrisk sekvens er det geometriske middelværdi af de vilkår, der går forud for og efterfølger det. Uendelige geometriske sekvenser med en fælles faktor mellem +1 og -1 nærmer grænsen på nul som udtryk, mens sekvenser med en fælles faktor større end +1 eller mindre end -1 går til plus eller minus uendelig.

Hvordan geometriske sekvenser arbejder

En geometrisk sekvens er defineret af startnummeret a, den fælles faktor r og antallet af udtryk S. Den tilsvarende generelle form for en geometrisk sekvens er:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

Den generelle formel for term n i en geometrisk sekvens (dvs. ethvert udtryk inden for den sekvens) er:
a _{n = ar ^n-1.}

Den rekursive formel, som definerer et udtryk i forhold til det foregående udtryk, er:
a _{n = ra n-1}

Et eksempel på en geometrisk sekvens med startnummer 3, fælles faktor 2 og otte udtryk er 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Beregning af sidste sigt ved brug af generel form angivet ovenfor, udtrykket er:

a _{8 = 3 × 2 ^{8-1 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.}}

Brug af den generelle formel for term 4:

a _{4 = 3 × 2 ^{4-1 = 3 × 2 3 = 24.}}

Hvis du vil bruge den rekursive formel for termen 5, derefter termen 4 = 24, og en _{5 er lig med:}

a _{5 = 2 × 24 = 48.}

Geometrisk Sequence Properties

Geometriske sekvenser har særlige egenskaber, så vidt angår det geometriske gennemsnit. Det geometriske gennemsnit af to tal er kvadratroden af ​​deres produkt. For eksempel er det geometriske middelværdi på 5 og 20 10, fordi produktet 5 × 20 = 100 og kvadratroten på 100 er 10.

I geometriske sekvenser er hvert udtryk det geometriske gennemsnit af udtrykket før det og udtrykket efter det. For eksempel i sekvensen 3, 6, 12 ... ovenfor er 6 det geometriske gennemsnit af 3 og 12, 12 er det geometriske gennemsnit af 6 og 24, og 24 er det geometriske middelværdi på 12 og 48.

Andre egenskaber ved geometriske sekvenser afhænger af den fælles faktor. Hvis den fælles faktor r er større end 1, vil uendelige geometriske sekvenser nærme sig positiv uendelighed. Hvis r er mellem 0 og 1, vil sekvenserne nærme sig nul. Hvis r er mellem nul og -1, vil sekvenserne nærme sig nul, men betingelserne vil skifte mellem positive og negative værdier. Hvis r er mindre end -1, vil vilkårene henvise til både positiv og negativ uendelighed, da de veksler mellem positive og negative værdier.

Geometriske sekvenser og deres egenskaber er særligt nyttige i videnskabelige og matematiske modeller af virkelige processer . Anvendelsen af ​​specifikke sekvenser kan hjælpe med undersøgelsen af ​​populationer, der vokser til en fast sats over givne perioder eller investeringer, der tjener renter. De generelle og rekursive formler gør det muligt at forudsige nøjagtige værdier i fremtiden baseret på udgangspunktet og den fælles faktor.