Sådan forenkles radikale fraktioner

Radikale fraktioner er ikke små oprørske fraktioner, der forbliver sent, drikker og ryger pot. I stedet er de fraktioner, der indbefatter radikaler - normalt firkantede rødder, når du først introduceres til konceptet, men senere kommer måske også kubusrødder, fjerde rødder og lignende, som alle også kaldes radikaler. Afhængigt af præcis hvad din lærer beder dig om at gøre, er der to måder at forenkle radikale fraktioner: Enten faktor radikalet helt ud, forenkle det eller "rationalisere" fraktionen, hvilket betyder at du fjerner radikalet fra nævneren, men kan stadig har en radikal i tælleren.

Annullering af radikale udtryk fra en fraktion

Overvej din første mulighed, factoring det radikale ud af fraktionen. Der er faktisk to måder at gøre dette på. Hvis det samme radikale findes i alle vilkår
i både øverste og nederste del af brøkdelen, kan du blot faktorere og annullere det radikale udtryk. For eksempel, hvis du har:

(2√3) /(3√3 _) _

Du kan faktorere begge radikaler, fordi de er til stede i hvert udtryk i tælleren og nævneren. Det efterlader dig:

√3 /√3 × 2/3

Og fordi en brøkdel med nøjagtigt samme ikke-nulværdier i tæller og nævneren er lig med en, kan du omskrive dette som:

1 × 2/3

Eller blot 2/3.

Forenkling af det radikale udtryk

Sommetider vil du blive konfronteret med en radikalt udtryk, der ikke har et kortfattet svar, ligesom √3 fra det foregående eksempel. I det tilfælde vil du normalt bevare det radikale udtryk som det er ved at bruge grundlæggende operationer som factoring eller annullering for enten at fjerne det eller isolere det. Men nogle gange er der et indlysende svar. Overvej følgende brøkdel:

(√4) /(√9)

Hvis du kender dine firkantede rødder, kan du se, at begge radikaler faktisk repræsenterer kendte heltal. Kvadratroden på 4 er 2, og kvadratroden på 9 er 3. Så hvis du ser kendte firkantede rødder, kan du bare omskrive fraktionen med dem i deres forenklede heltal. I dette tilfælde har du:

2/3

Dette virker også med terninger og andre radikaler. For eksempel er kubens rod på 8 2, og kubens rod på 125 er 5. Så hvis du stødte på:

( ^{3√8) /( 3√125)}

Du vil med lidt øvelse kunne se med det samme, at det forenkler det meget enklere og lettere at håndtere:

2/5

Rationalisering af nævneren

Lærere vil ofte lade dig holde radikale udtryk i tælleren for din brøkdel; men ligesom radioniveauer forårsager radikaler problemer, når de kommer op i nævneren eller bunden af ​​fraktionen. Så den sidste måde du måske bliver bedt om at forenkle radikale fraktioner er en operation kaldet rationalisering af dem, hvilket bare betyder at få radikalet ud af nævneren. Det betyder ofte, at det radikale udtryk vises i tælleren i stedet.

Overvej fraktionen

4 /_√_5

Du kan ikke nemt forenkle _√_5 til et helt tal, og selvom du faktoriserer det, er du stadig tilbage med en brøkdel, der har en radikal i nævneren, som følger:

1 /_√_5 × 4/1

Så ingen af ​​de allerede diskuterede metoder vil fungere. Men hvis du husker egenskaberne for fraktioner, er en brøkdel med et hvilket som helst ikke-nul nummer på både top og bund lig med 1. Så du kunne skrive:

√_5 /
√_5 = 1

Og fordi du kan formere 1 gange noget andet uden at ændre værdien af ​​den anden ting, kan du også skrive følgende uden at ændre værdien af ​​fraktionen:

√_5 /
√ 5 × 4 /
√_5

Når du multipliserer over, sker der noget specielt. Tælleren bliver 4_√_5, hvilket er acceptabelt, fordi dit mål blot var at få radikalet ud af nævneren. Hvis det vises i tælleren, kan du håndtere det.

Samtidig bliver nævneren √_5 ×
√ 5 eller (
√_5) ^{2. Og fordi en kvadratrod og en firkant annullerer hinanden, forenkles det simpelthen til 5. Så din fraktion er nu:}

4_√_5 /5, der betragtes som en rationel fraktion, fordi der ikke er nogen radikal i nævneren.