Hvad er en Radian?

I geometri er en radian en enhed, der bruges til at måle vinkler. Radianen kommer fra længden af ​​cirkelens radius. Segmentet af en cirkels omkreds, der svarer til vinklen lavet af to radiuslinjer, gør en buet. Vinklen, som denne bue skaber, når du trækker linjer fra start- og slutpunkt til cirklens centrum, er en radian. Selvom radianen måske forekommer mærkelig og kompliceret i starten, forenkler den ligninger i matematik og fysik.

TL; DR (for længe, ​​ikke læst)

I geometri er en radian en enhed baseret på cirklen og bruges til at måle vinkler. Det letter beregninger i avancerede typer af matematik.

Grader vs. Radianer

Ud over fysik og avanceret matematik er grader typisk mere velkendte enheder til vinkelmålinger. En cirkel har for eksempel 360 grader, en trekant har 180 og en retvinkel har 90. Derimod har en fuld cirkel 2 × π (pi) radianer, en trekant har π radianer og en retvinkel er π ÷ 2 radianer . En cirkel har en hel række grader, mens i radianer er værdien et irrationelt tal, så radianer ved første rødme kan virke underlige. På den anden side kan du udtrykke fraktioner af en grad som decimal, eller som minutter, sekunder og decimals sekunder, du også bruger med tiden, så graden har egne problemer.

Nemmere og hårdere

Gradmålinger er typisk lettere at håndtere end radianer til grundlæggende aritmetik og trigonometri; du skal sjældent beskæftige sig med fraktioner af π, når du udtrykker en vinkel. Men for calculus og anden avanceret matematik viser det sig, at radianer er lettere. For eksempel er effektserien for sinusfunktionen i radianer følgende:

sin (x) = x - (x ^{3 ÷ 3!) + (X 5 ÷ 5!) - (x 7 ÷ 7!) + (x 9 ÷ 9!) ...}

I grader ser funktionen sådan ud:

synd (x) = (π × x ÷ 180) - (π × x ÷ 180) ^{3 ÷ 3! + (π × x ÷ 180) 5 ÷ 5! - (π × x ÷ 180) 7 ÷ 7! + (π × x ÷ 180) 9 ÷ 9! ...}

For denne power-serie bemærkes, at du skal gentage "π × x ÷ 180" for hvert udtryk - meget ekstra skrift og beregning i forhold til den mere præcise, mere kompakte tilsvarende i radianer. Radianen kommer fra den naturlige geometri i en cirkel snarere end en division ved et vilkårlig tal, som grader gør. Fordi radianer gør mange beregninger nemmere, tænker matematikere på enheden som mere "naturlige" end grader.

Anvendelser til radianer

Ud over effektserier som f.eks. Sinusfunktionseksemplet, ll se radianer i matematik, der involverer beregninger og differentialekvationer. For eksempel, når du bruger radianer, er derivatet af sinusfunktionen, sin (x), simpelthen cosinus, cos (x). I grader er imidlertid derivatet af synd (x) det mere besværligt (π ÷ 180) × cos (x). Når du går i matematik, bliver problemerne sværere, og løsningerne kræver mange flere linjer med beregning og algebra. Radianer sparer dig meget unødvendigt ekstra skrift og reducerer chancerne for at lave fejl.

I fysik bruger formler for bølgefrekvensen og omdrejningshastigheden af ​​objekter en mindre omega, "ω" som en bekvem stenografi for "2 × π × radianer per sekund."

Konvertere grader til radianer

Formlerne til at omdanne grader til radianer og tilbage igen er ligefrem. For at konvertere vinkler i grader til radianer, multiplicer vinklen med π, og divider derefter med 180. For eksempel har en cirkel 360 grader. Multipliceret med π, som bliver 360π; divider derefter med 180, og du får 2π radianer. At konvertere fra radianer til grader multiplicere med 180, og divider derefter med π. Konverter f.eks. En ret vinkel, π ÷ 2 radianer. Multiplicer med 180 for at få 90π, og divider derefter med π for at få resultatet, 90 grader.