Hvad skaber en relation?

Matematiske funktioner er kraftfulde værktøjer til erhvervslivet, ingeniørvidenskab og videnskab, fordi de kan fungere som miniatyrmodeller af virkelige fænomener. For at forstå funktioner og relationer skal du grave lidt ind i begreber som sæt, bestilte par og relationer. En funktion er en særlig slags relation, der kun har en y-værdi for en given x-værdi. Der findes andre former for relationer, der ligner funktioner, men ikke opfylder den strenge definition af en.

TL; DR (for længe, ​​ikke læst)

Et forhold er et sæt af tal organiseret i par. En funktion er en særlig slags relation, der kun har en y-værdi for en given x-værdi.

Sæt, ordnede par og relationer

For at beskrive relationer og funktioner hjælper det først at diskutere sæt og bestilte par. Kort sagt er et sæt af tal en samling af dem, der typisk er indeholdt i krøllede seler, såsom {15,1, 2/3} eller {0, .22}. Normalt definerer du et sæt med en regel, som alle lige tal mellem 2 og 10 inklusive: {2,4,6,8,10}.

Et sæt kan have et hvilket som helst antal elementer, eller slet ingen, det vil sige nulstillingen {}. Et bestilt par er en gruppe af to tal indesluttet i parentes, såsom (0,1) og (45, -2). For nemheds skyld kan du ringe til den første værdi i et bestilt par x-værdien og den anden y-værdien. En relation organiserer ordnede par i et sæt. For eksempel er sætet {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relation. Du kan plotte x- og y-værdierne for en relation på en graf ved hjælp af x- og y-akserne.

Forbindelser og funktioner

En funktion er en relation, hvor en given x-værdi kun har en tilsvarende y-værdi. Du tror måske, at med ordnede par, har hver x kun en y-værdi alligevel. I eksemplet på et ovenfor angivet forhold bemærkes dog, at x-værdierne 1 og 2 hver har to tilsvarende y-værdier, henholdsvis 0 og 5 og 10 og 15. Dette forhold er ikke en funktion. Reglen giver funktionsforholdet en definitivitet, der ellers ikke eksisterer, hvad angår x-værdier. Du kan spørge, når x er 1, hvad er y-værdien? For ovennævnte forhold har spørgsmålet ikke noget bestemt svar; Det kan være 0, 5 eller begge.

Undersøg nu et eksempel på en relation, der er en sand funktion: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6) )}. X-værdierne gentages ikke hvor som helst. Som et andet eksempel, se på {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Nogle y-værdier gentages, men dette overtræder ikke reglen. Du kan stadig sige, at når værdien af ​​x er 0, y er bestemt 5.

Grafikfunktioner: Vertikal linjetest

Du kan se om en relation er en funktion ved at plotte tallene på en graf og anvender den vertikale linjetest. Hvis ingen lodret linje, der går gennem grafen, skærer den på mere end et punkt, er relationen en funktion.

Funktioner som ligninger

Udskrivning af et sæt bestilte par som en funktion giver mulighed for en let eksempel, men bliver hurtigt kedeligt, når du har mere end et par tal. For at løse dette problem skriver matematikere funktioner i form af ligninger, såsom y = x ^ 2 - 2x + 3. Ved hjælp af denne kompakte ligning kan du generere så mange ordnede par som du vil: Indsæt forskellige værdier for x, gør det matematik og ud kommer dine y-værdier.

Virkelige funktioner i verden

Mange funktioner tjener som matematiske modeller, så folk kan forstå detaljer om fænomener, der ellers ville forblive mystiske. For at tage et simpelt eksempel er afstandsligningen for et faldende objekt d = .5 x g x t ^ 2, hvor t er tid i sekunder, og g er accelerationen på grund af tyngdekraften. Indsæt 9,8 for jordens tyngdekraft i meter per sekund kvadreret, og du kan finde afstanden en objekt faldet til enhver tid værdi. Bemærk, at modellerne for deres anvendelighed har begrænsninger. Eksempel ligningen fungerer godt for at tabe en stålkugle, men ikke en fjer, fordi luften sænker fjeren ned.