Hvad er halvvinkelidentiteter?

Ligesom i algebra, når du begynder at lære trigonometri, samler du sæt af formler, der er nyttige til problemløsning. Et sådant sæt er de halvvinklede identiteter, som du kan bruge til to formål. Den ene er at konvertere trigonometriske funktioner af (θ /2) til funktioner i form af den mere velkendte (og lettere manipulerede) θ. Den anden er at finde den egentlige værdi af trigonometriske funktioner på θ, når θ kan udtrykkes som halvdelen af en mere velkendt vinkel.

Gennemgang af halvvinklede identiteter

Mange matematiske lærebøger vil liste fire primære halvvinkelidentiteter. Men ved at anvende en blanding af algebra og trigonometri kan disse ligninger masseres i en række nyttige former. Du behøver ikke nødvendigvis at huske alle disse (medmindre din lærer insisterer), men du bør i det mindste forstå hvordan man bruger dem:

Halvvinkelidentitet til sinne

< li> synd (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]

Halvvinkelidentitet for Cosine

cos (θ /2) = ± √ [(1 + cosθ) /2]

Halvvinklede identiteter til Tangent

tan (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /(1 + cosθ)]

tan (θ /2) = sinθ /(1 + cosθ)

2) = (1 - cosθ) /sinθ

tan (θ /2) = cscθ - cotθ

Halvvinklede identiteter til cotangent

barneseng (θ /2) = ± √ [(1 + cosθ) /(1 - cosθ)]

barneseng (θ /2) = sinθ /(1 - cosθ )

barneseng (θ /2) = (1 + cosθ) /sinθ

barneseng (θ /2) = cscθ + cotθ

Et eksempel på at bruge halvvinklede identiteter

Så hvordan bruger du halvvinklede identiteter? Det første skridt er at erkende, at du beskæftiger dig med en vinkel, der er halvdelen af en mere velkendt vinkel.

Find θ

forestil dig at du bliver bedt om at finde vinkelen på vinklen 15 grader . Dette er ikke en af de vinkler, de fleste studerende vil huske værdierne for trig-funktioner til. Men hvis du lader 15 grader være θ /2 og derefter løser for θ, finder du det:

θ /2 = 15

θ = 30

Fordi den resulterende θ, 30 grader, er en mere velkendt vinkel, vil den ved hjælp af halvvinkelformlen være nyttig.

Vælg en halvvinkelformel

Fordi du er blevet bedt om at find sinus, er der egentlig kun en halvvinkelformel at vælge imellem:

synd (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]

Erstatter i θ /2 = 15 grader og θ = 30 grader giver dig:

synd (15) = ± √ [(1 - cos (30)) /2]

Hvis du blev bedt om at find tangent eller cotangent, hvoraf begge halvdeler multiplikerer måder at udtrykke deres halvvinkelidentitet på, vælger du simpelthen den version, der så lette at arbejde.

Løs på ± Sign

The ± tegn i begyndelsen af nogle halvvinklede identiteter betyder, at den pågældende rod kan være positiv eller negativ. Du kan løse denne tvetydighed ved at bruge din viden om trigonometriske funktioner i kvadranter. Her er en hurtig oversigt, hvilke trig-funktioner returnerer positive værdier, hvor kvadranter:

Kvadrant I: Alle trig-funktioner

Kvadrant II: Kun sinus og cosecant

Kvadrant III: kun tangent og cotangent

Kvadrant IV: Kun cosinus og secant

Fordi i dette tilfælde din vinkel θ repræsenterer 30 grader, som falder i kvadrant I ved du, at den sinusværdi den returnerer vil være positiv. Så du kan slippe ± signaturet og simpelthen evaluere:

Synd (15) = √ [(1 - cos (30)) /2]

Udskift de kendte værdier

Erstatning i den kendte, kendte værdi af cos (30). I dette tilfælde skal du bruge de nøjagtige værdier (i modsætning til decimalimitationer fra et diagram):

Synd (15) = √ [(1 - √3 /2) /2]

Forenkle Din ligning

Derefter forenkles højre side af din ligning for at finde en værdi for synd (15). Start med at multiplicere udtrykket under radikalet med 2/2, hvilket giver dig:

Synd (15) = √ [2 (1 - √3 /2) /4]

Dette forenkler til:

synd (15) = √ [(2 - √3) /4]

Du kan derefter udregne kvadratroten af 4:

synd (15 ) = (1/2) √ (2 - √3)

I de fleste tilfælde drejer det sig om så langt som du ville forenkle. Selvom resultatet måske ikke er frygteligt smukt, har du oversat sinus af en ukendt vinkel til en nøjagtig mængde.

Sidste artikelHvad er den samlede rækkefølge af reaktion?

Næste artikelSådan finder du domænet af en funktion