Fodbold med Frobenius: Super Bowl Math Problem

Med Super Bowl lige rundt om hjørnet, har atleter og fans af verden deres fokus rettet fast på det store spil. Men for _math_letes kan det store spil komme til at tænke på et lille problem med de mulige score i et fodboldspil. Med kun begrænsede muligheder for antallet af point, du kan score, kan nogle totaler simpelthen ikke nås, men hvad er det højeste? Hvis du vil vide, hvad der knytter mønter, fodbold og McDonald's kyllingarner, er dette et problem for dig.
Super Bowl Math Problem

Problemet indebærer mulige scoringer enten Los Angeles Rams eller New England Patriots kunne muligvis opnå søndag uden en sikkerhed eller en to-punkts konvertering. Med andre ord, de tilladte måder at øge deres score på er 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns. Så uden sikkerhed kan du ikke opnå en score på 2 point i et spil med en kombination af 3'er og 7'er. På samme måde kan du heller ikke opnå en score på 4, og du kan heller ikke score 5.

Spørgsmålet er: Hvad er den højeste score, som ikke kan opnås med kun 3 point Field-mål og 7-punkts touchdowns?
Sciencing Video Vault
Opret (næsten) perfekt beslag: Sådan gør du
Lav den (næsten) perfekte beslag: Sådan gør du

Selvfølgelig touchdowns uden omregning er værd 6, men da du kan komme til det med to feltmål alligevel, er det ligegyldigt for problemet. Også da vi beskæftiger os med matematik her, behøver du ikke bekymre dig om det specifikke holds taktik eller endda begrænsninger på deres evne til at score point.

Prøv at løse dette selv før du går videre!
Find en løsning (den langsomme måde)

Dette problem har nogle komplekse matematiske løsninger (se Ressourcer for detaljer, men hovedresultatet vil blive introduceret nedenfor), men det er et godt eksempel på, hvordan dette ikke er ' t Trænger til at finde svaret.

Alt du skal gøre for at finde en brute-force løsning er at blot prøve hvert af scorerne igen. Så vi ved, at du ikke kan score 1 eller 2, fordi de er mindre end 3. Vi har allerede fastslået, at 4 og 5 ikke er mulige, men 6 er med to feltmål. Efter 7 (hvilket er muligt), kan du score 8? Nix. Tre feltmål giver 9, og et feltmål og en konverteret touchdown gør 10. Men du kan ikke få 11.

Fra dette punkt viser et lille arbejde at:
\\ start {aligned} 3 × 4 & = 12 \\\\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\\\ 7 × 2 & = 14 \\\\ 3 × 5 & = 15 \\\\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\\\ × 2) + 3 & = 17 \\ end {aligned}

Og i virkeligheden kan du fortsætte som dette så længe du vil. Svaret synes at være 11. Men er det?
Den algebraiske løsning

Matematikere kalder disse problemer "Frobenius møntproblemer." Den oprindelige form relaterede til mønter, som: Hvis du kun havde mønter værdsat 4 cent og 11 cent (ikke rigtige mønter, men igen, det er matematiske problemer for dig), hvad er det største beløb du ikke kunne producere.

Algebra løsningen er det med en score værd p
point og en score værd q
point, den højeste score du ikke kan få ( N
) gives af:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Så at tilslutte værdierne fra Super Bowl-problemet giver:
\\ start {aligned} N & = 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ & = 21 \\; - \\; 10 \\\\ & = 11 \\ end {aligned}

Hvilket svar har vi den langsomme måde. Så hvad hvis du kun kunne score touchdowns uden konvertering (6 point) og touchdowns med en-point konverteringer (7 point)? Se om du kan bruge formlen til at udarbejde den, før du læser den.

I dette tilfælde bliver formlen:
\\ start {aligned} N & = 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ & = 42 \\; - \\; 13 \\\\ & = 29 \\ ende {aligned} The Chicken McNugget Problem

Så spillet er forbi, og du vil belønne det vindende hold med en tur til McDonald's. Men de sælger kun McNuggets i kasser med 9 eller 20. Så hvad er det højeste antal nuggets du ikke kan købe med disse (forældede) kassenumre? Prøv at bruge formlen til at finde svaret, før du læser det.

Siden N = pq \\; - \\; (p + q)

Og med p
= 9 og q
= 20:
\\ start {aligned} N & = 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ & = 180 \\; - \\; Såfremt du købte mere end 151 nuggets - vil det vindende hold nok være temmelig sultent - du kunne jo købe et hvilket som helst antal nuggets du ønskede med en æske kombination.

Du kan måske undre sig over, hvorfor vi kun har dækket to-tal versioner af dette problem. Hvad hvis vi indregnede sikkerhedsstillelser, eller hvis McDonalds solgte tre størrelser af nugget-kasser? Der er ingen klar formel
i dette tilfælde, og mens de fleste versioner af det kan løses, er nogle aspekter af spørgsmålet helt uløst.

Så måske når du ser spillet eller at spise bit-bit kylling du kan hævde du forsøger at løse et åbent problem i matematik - det er værd at prøve at komme ud af pligter!