Sådan estimerer du et derivat fra en graf

Forandringshastigheder vises overalt i videnskaben, og især i fysik gennem mængder som hastighed og acceleration. Derivater beskriver ændringshastigheden for en mængde i forhold til en anden matematisk, men beregningen af dem kan undertiden være kompliceret, og du får måske præsenteret en graf snarere end en funktion i ligningsform. Hvis du præsenteres for en graf over en kurve og er nødt til at finde derivatet derfra, er du muligvis ikke i stand til at være så nøjagtig som med en ligning, men du kan nemt foretage et solidt skøn.

TL ; DR (for lang; læste ikke)

Vælg et punkt på grafen for at finde værdien af derivatet ved.

Tegn en lige linje tangens til kurven for grafen ved dette punkt.

Tag skråningen af denne linje for at finde værdien af derivatet på dit valgte punkt på grafen.
Hvad er et derivat?

Uden for den abstrakte indstilling af ved at differentiere en ligning, er du måske lidt forvirret over, hvad et derivat egentlig er. I algebra er et derivat af en funktion en ligning, der fortæller dig værdien af "hældningen" af funktionen på ethvert tidspunkt. Med andre ord fortæller det dig, hvor meget en mængde ændrer sig i betragtning af en lille ændring i den anden. På en graf fortæller gradienten eller hældningen på linjen, hvor meget den afhængige variabel (placeret på y
-aksen) ændres med den uafhængige variabel (på x
-aksen) .

For lige liniegrafer bestemmer du den (konstante) ændringshastighed ved at beregne grafens hældning. Forhold, der er beskrevet af kurver, er ikke så lette at håndtere, men princippet om, at derivatet bare betyder skråningen (på det specifikke punkt), gælder stadig.

1. Vælg det rigtige sted til dit derivat
   
   

   For forhold, der er beskrevet af kurver, tager derivatet en anden værdi på hvert punkt langs kurven. For at estimere det afledte af grafen skal du vælge et punkt at tage derivatet på. For eksempel, hvis du har en graf, der viser afstand, der er tilbagelagt mod tiden, på en lige linje, vil skråningen fortælle dig den konstante hastighed. For hastigheder, der ændrer sig med tiden, ville grafen være en kurve, men en lige linje, der bare berører kurven på et punkt (en linje tangentiel til kurven) repræsenterer ændringshastigheden på det specifikke punkt.
   

   Vælg et sted, du har brug for at kende derivatet på. Brug eksemplet på den tilbagelagte afstand imod tid, vælg det tidspunkt, hvor du vil vide kørehastigheden. Hvis du har brug for at kende hastigheden på flere forskellige punkter, kan du køre gennem denne proces for hvert enkelt punkt. Hvis du vil vide hastigheden 15 sekunder efter bevægelsens start, skal du vælge stedet på kurven ved 15 sekunder på x
   -aksen.
   

2. Tegn en tangentlinie til kurven på det tidspunkt
   
   

   Tegn en linje tangentiel til kurven på det punkt, du er interesseret i. Tag dig god tid til at gøre dette, fordi det er den vigtigste og mest udfordrende del af processen. Dit estimat vil være bedre, hvis du tegner en mere præcis tangentlinie. Hold en lineal op til punktet på kurven, og juster dens retning, så den linje, du tegner, kun vil berøre kurven på det enkelte punkt, du er interesseret i.
   

   Tegn din linje som længe som grafen tillader det. Sørg for, at du nemt kan læse to værdier for både x
   og y
   koordinaterne, en nær starten af din linje og en nær slutningen. Du behøver ikke absolut at tegne en lang streg (teknisk set er enhver lige linje egnet), men længere linier har en tendens til at være lettere at måle hældningen på.
   

3. Find tangentlinjens hældning
   
   

   Find to steder på din linje, og noter x
   og y og koordinaterne for dem. Forestil dig for eksempel din tangentlinje som to bemærkelsesværdige pletter ved x
   \u003d 1, y
   \u003d 3 og x
   \u003d 10, y
   \u003d 30, som du kan kalde punkt 1 og punkt 2. Brug af symbolerne x
   _{1 og y
   1 til at repræsentere koordinaterne for det første punkt og x
   2 og y
   2 til at repræsentere koordinaterne for det andet punkt, hældningen m
   er givet af:}
   

   m
   \u003d ( y
   _{2 - y
   1) ÷ ( x
   2 - x
   1)}
   

   Dette fortæller dig afledningen af kurven på det punkt, hvor linjen berører kurven. I eksemplet x
   _{1 \u003d 1, x
   2 \u003d 10, y
   1 \u003d 3 og y
   2 \u003d 30, så:}
   

   m
   \u003d (30 -
   3) ÷ (10 -
   1)
   

   \u003d 27 ÷ 9
   

   \u003d 3
   

   I eksemplet ville dette resultat være hastigheden på det valgte punkt. Så hvis x
   -axen blev målt i sekunder og y
   -axen blev målt i meter, ville resultatet betyde, at det pågældende køretøj kørte med 3 meter i sekundet. Uanset den specifikke mængde, du beregner, er processen med at estimere derivatet den samme.