Hvad er pythagoreiske identiteter?

De fleste mennesker husker Pythagorean Theorem fra begyndelsesgeometri - det er en klassiker. Det er a
^{2 + b
2 \u003d c
2, hvor a
, b
og c
er siderne af en højre trekant ( c
er hypotenusen). Dette sætning kan også skrives om til trigonometri!}

TL; DR (for lang; læste ikke)

TL; DR (for lang; læste ikke)

Pythagoreiske identiteter er ligninger, der skriver Pythagorean-sætningen med hensyn til triggefunktioner.

De vigtigste Pythagoreiske identiteter er:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) \u003d sek 2 ( θ
)}

1 + barneseng ^{2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
)}

Pythagorean identiteter er eksempler på trigonometriske identiteter: ligninger (ligninger), der bruger trigonometriske funktioner.
Hvorfor er det vigtigt?

Pythagoreiske identiteter kan være meget nyttige til at forenkle komplicerede trig-sætninger og ligninger. Husk dem nu, og du kan spare dig selv meget tid ned ad vejen!
Proof ved hjælp af definitionerne af trig-funktionerne.

Disse identiteter er ret enkle at bevise, hvis du tænker på definitionerne af trig-funktionerne. funktioner. Lad os for eksempel bevise at sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.}

Husk, at definitionen af sinus er modsat side /hypotenuse, og at cosinus er tilstødende side /hypotenuse.

Så sin ^{2 \u003d modsat 2 /hypotenuse 2}

Og cos ^{2 \u003d tilstødende 2 /hypotenuse 2}

Du kan nemt tilføje disse to sammen, fordi nævnerne er de samme.

sin ^{2 + cos 2 \u003d (modsat 2 + tilstødende 2) /hypotenuse 2}

Se nu et nyt kig ved den Pythagoreiske sætning. Det siger, at a
<sup>2 + b
2 \u003d c
2. Husk, at a
og b
står for de modsatte og tilstødende sider, og c
står for hypotenusen.</sup>

Du kan omarrangere ligning ved at dele begge sider med c
^2:

a
^{2 + b
2 \u003d c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 \u003d 1}

Da a
^{2 og b
2 er de modsatte og tilstødende sider og c
2 er hypotenusen, du har en tilsvarende erklæring som den ovenfor, med (modsat 2 + tilstødende 2) /hypotenuse 2. Og takket være arbejdet med a
, b
, c
og det Pythagoreiske sætning, kan du nu se denne udsagn lig med 1!}

Så (modsat ^{2+ tilstødende 2) /hypotenuse 2 \u003d 1,}

og derfor: sin ^{2 + cos 2 \u003d 1.}

(Og det er bedre at skrive det ordentligt ud: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1).
De gensidige identiteter}

Lad os bruge et par minutter på at se på de gensidige identiteter. Husk, at den gensidige er en divideret med ("over") dit nummer - også kendt som det inverse.

Da cosecant er det gensidige af sinus, csc ( θ
) \u003d 1 /synd ( θ
).

Du kan også tænke på kosekant ved hjælp af definitionen af sinus. For eksempel sinus \u003d modsat side /hypotenuse. Det inverse af det vil være den brøk, der vippes op og ned, som er hypotenuse /modsat side.

På samme måde er kosines gensidige sikkerhed, så den er defineret som sec ( θ
) \u003d 1 /cos ( θ
), eller hypotenuse /tilstødende side.

Og tangents gensidige er cotangent, så barneseng ( θ
) \u003d 1 /tan ( θ
) eller barneseng \u003d tilstødende side /modsat side.

Beviserne for de Pythagoreiske identiteter ved hjælp af secant og cosecant svarer meget til den for sinus og cosinus. Du kan også udlede ligningerne ved hjælp af "overordnede" ligning, sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Opdel begge sider med cos 2 ( θ
) for at få identiteten 1 + tan 2 ( θ
) \u003d sek 2 ( θ
). Del begge sider med sin 2 ( θ
) for at få identiteten 1 + barneseng 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
).}

Held og lykke og husk de tre Pythagoreiske identiteter!