Sådan beregnes Eigenvectors

Det er undertiden nødvendigt at finde en ikke-nulpunkt-vektor, der, ganget multipliceres med en firkantet matrix, vil give os tilbage en multipel af vektoren. Denne ikke-nøjagtige vektor kaldes en "egenvektor." Eigenvektorer er ikke kun af interesse for matematikere, men også for andre inden for erhverv som fysik og teknik. For at beregne dem skal du forstå matrixalgebra og determinanter.

Lær og forstå definitionen af en "egenvektor." Det findes for en n x n firkantet matrix A og også en skalær egenværdi kaldet "lambda". Lambda er repræsenteret af det græske bogstav, men her forkortes vi det til L. Hvis der er en ikke-nulpunktvektor x, hvor Ax \u003d Lx, kaldes denne vektor x en "egenværdi af A."


Find egenværdier af matrixen ved hjælp af den karakteristiske ligning det (A - LI) \u003d 0. "Det" står for determinanten, og "I" er identitetsmatrixen.


Beregn egenvektoren for hver egenværdi ved at finde en eigenspace E (L), som er det nulrum i den karakteristiske ligning. Ikke-vektorvektorerne i E (L) er egenvektorerne til A. Disse findes ved at sætte egenvektorerne tilbage i den karakteristiske matrix og finde et grundlag for A - LI \u003d 0..

Øv trin 3 og 4 af studerer matrixen til venstre. Vist er en kvadratisk 2 x 2 matrix.


Beregn egenværdierne ved hjælp af den karakteristiske ligning. Det (A - LI) er (3 - L) (3 - L) --1 \u003d L ^ 2 - 6L + 8 \u003d 0, hvilket er det karakteristiske polynom. Løsning af dette algebraisk giver os L1 \u003d 4 og L2 \u003d 2, som er egenværdierne af vores matrix.


Find egenvektoren for L \u003d 4 ved at beregne nulrummet. Gør dette ved at placere L1 \u003d 4 i den karakteristiske matrix og finde grundlaget for A - 4I \u003d 0. Ved at løse dette finder vi x - y \u003d 0 eller x \u003d y. Dette har kun en uafhængig løsning, da de er ens, f.eks. X \u003d y \u003d 1. Derfor er v1 \u003d (1,1) en egenvektor, der spænder over rammen på L1 \u003d 4.


Gentag trin 6 til find egenvektoren for L2 \u003d 2. Vi finder x + y \u003d 0 eller x \u003d --y. Dette har også en uafhængig løsning, siger x \u003d --1 og y \u003d 1. Derfor er v2 \u003d (--1,1) en egenvektor, der spænder over egenområdet til L2 \u003d 2.