Sådan forenkles komplekse numre

Algebra involverer ofte forenkling af udtryk, men nogle udtryk er mere forvirrende at håndtere end andre. Komplekse tal involverer den mængde, der er kendt som i
, et “imaginært” nummer med egenskaben i
\u003d √ − 1. Hvis du blot skal have et udtryk, der involverer et komplekst tal, kan det virke afskrækkende, men det er en ganske simpel proces, når du først har lært de grundlæggende regler.

TL; DR (for lang; ikke læst)

Forenkle komplekse tal ved at følge reglerne for algebra med komplekse tal.
Hvad er et komplekst tal?

Komplekse numre defineres ved deres inkludering af i
udtrykket, som er kvadratroden på minus en. I matematik på basisniveau findes der ikke rigtige kvadratroder med negative tal, men de vises lejlighedsvis i algebra-problemer. Den generelle form for et komplekst tal viser deres struktur:

z

\u003d a
+ bi

Hvor z
mærker det komplekse nummer, a
repræsenterer et hvilket som helst tal (kaldet den "rigtige" del), og b
repræsenterer et andet nummer (kaldet "imaginær" ”Del), som begge kan være positive eller negative. Så et eksempel på et komplekst tal er:

z

\u003d 2 −4_i_

Da alle firkantede rødder med negative tal kan repræsenteres med multipla af < em> i
, dette er formen for alle komplekse tal. Teknisk beskriver et almindeligt nummer bare et specielt tilfælde med et komplekst tal, hvor b
\u003d 0, så alle tal kan betragtes som komplekse.
Grundlæggende regler for algebra med komplekse tal

Til tilføje og trække komplekse tal, blot tilføje eller trække de reelle og imaginære dele separat. Så for komplekse tal z
\u003d 2 - 4_i_ og w
\u003d 3 + 5_i_, er summen:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

At trække numrene fungerer på samme måde:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

Multiplikation er en anden simpel operation med komplekse tal, fordi det fungerer som almindelig multiplikation, medmindre du skal huske, at i
^{2 \u003d −1. Så for at beregne 3_i_ × −4_i_:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Men siden i
^{2 \u003d −1, så:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Med fulde komplekse tal (ved hjælp af z
\u003d 2 - 4_i_ og w
\u003d 3 + 5_i_ igen), multiplicerer du dem på samme måde, som du ville med almindelige tal som ( a
+ b
) ( c
+ d
) ved hjælp af metoden “første, indre, ydre, sidste” (FOIL) for at give ( a
+ b
) ( c
+ d
) \u003d ac
+ bc
+ annonce
+ bd
. Alt hvad du skal huske er at forenkle alle tilfælde af i
^{2. Så for eksempel:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Deling af komplekse numre

Deling af komplekse tal involverer at multiplicere tælleren og nævneren af fraktionen med det komplekse konjugat af nævneren. Det komplekse konjugat betyder bare versionen af det komplekse nummer med den imaginære del omvendt i tegn. Så for z
\u003d 2 - 4_i_, det komplekse konjugat z
\u003d 2 + 4_i_, og for w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. For problemet:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

The behov for konjugat er w
*. Del tælleren og nævneren med dette for at give:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Og så arbejder du igennem som i det foregående afsnit. Tælleren giver:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

Og nævneren giver:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Dette betyder:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Forenkling af komplekse numre

Brug ovenstående regler efter behov for at forenkle komplekse udtryk. For eksempel:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Dette kan forenkles ved at bruge tilføjelsesreglen i tælleren, multiplikationsreglen i nævneren og derefter afslutte opdelingen. For tælleren:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

For nævneren:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4 - 2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

At bringe disse tilbage på plads giver:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

At multiplicere begge dele med konjugatet af nævneren fører til:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18 - 34_i_) /40

\u003d (9 - 17_i_) /20

\u003d 9/20 −17_i_ /20

Så dette betyder z
forenkler som følger:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 9/20 −17_i_ /20